Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上．
（1）求a_n的表达式；
（2）设An为数列{

1	(an-1)(an+1)

}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式A_n＜a对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）将数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

分析：（1）由点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上可得S_n=n²+2n利用递推公式 an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求；
（2）根据（1）求出

1

(an-1)(an+1)

，利用裂项相消法求出A_n即可求出使得不等式A_n＜a对一切n∈N^*都成立的a；
（3）由分组规律知，b₂，b₄，b₆，…b₁₀₀组成首项为b₂=4+6=10，公差d=12的等差数列，利用等差数列的通项公式可求；
（4）根据题意，举特例当n是4的整数倍时，求b_n的值．根据依次按1项，2项，3项，4项循环，可知数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…，根据它们的特点即可求得结果．

解答：解：（1）∵点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上，
∴S_n=n²+n．
a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n（n=1时也成立）．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）An=

1

(a1-1)(a1+1)

+

1

(a2-1)(a2+1)

+…+

1

(an-1)(an+1)

=

1

1•3

+

1

3•5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
依题意，只要a≥

1

2

即可，故a的取值范围是[

1

2

，+∞)．
（3）数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b₁₀₀是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b₂，b₄，b₆，…，b₁₀₀，…组成一个首项b₂=4+6=10，公差d=12
的等差数列． 
所以b₁₀₀=10+（50-1）×12=598．
（4）当n是4的整数倍时，求b_n的值．
数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4组，第8组，…，第4k（k∈N^*）组的第1个数，第2个 数，…，第4个数分别组成一个等差数列，
其首项分别为14，16，18，20．公差均为20． 
则第4组，第8组，…，第4k组的各数之和也组成一个等差数列，
其公差为80．  
且b₄=14+16+18+20=68．
当n=4k时，b_n=68+80（k-1）=20n-12．

点评：本题主要考查了利用递推公式 an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求数列的通项公式，注意不要漏掉对n=1的检验
，以及裂项相消求和法，还考查了等差数列的通项公式的应用，同时考查运算能力，属中档题．