Question

不等式组

x≥0 y≥0 nx+y≤4n

所表示的平面区域为D_n，若D_n内的整点（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为a_n（n∈N^*）
（1）写出a_n+1与a_n的关系（只需给出结果，不需要过程），
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列a_n的前n项和为S_n且Tn=

Sn

5•2n

，若对一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）不等式组所表示的平面区域D_n的整点个数归纳可得a_n+1-a_n=10；
（2）根据{a_n}是首项为15，公差为10的等差数列，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（3）求出数列{a_n}的前n项和S_n，则Tn=

Sn

5•2n

=

n(n+2)

2n

，然后T_n+1-T_n的符号可得T₂=2是最大值，从而求出m的取值范围．

解答：解：（1）不等式组

x≥0 y≥0 nx+y≤4n

（n∈N^*）所表示的平面区域D_n的整点个数
∴a_n+1-a_n=10即{a_n}为等差数列
（2）∵{a_n}是首项为15，公差为10的等差数列
∴a_n=15+（n-1）×10=10n+5
（3）S_n=

15+10n+5

2

×n=5n²+10n
∴Tn=

Sn

5•2n

=

n(n+2)

2n

∴T_n+1-T_n=

(n+1)(n+3)

2n+1

-

n(n+2)

2n

=

3-n2

2n+1

当n≥2时，T_n+1-T_n＜0
即T_n≤T₂=2≤m
∴m的取值范围为m≥2．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列的求和，同时考查了数列的最值，属于中档题．