设数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=3n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an(2n-1),求数列{bn}的前n项的和.
分析:(1)根据a
n=
及S
n=3
n+1,代入即可求得数列{a
n}的通项公式;
(2)把(1)中求得的结果代入b
n=a
n(2n-1),采取错位相减法即可求得数列{b
n}的前n项的和.
解答:解:(1)∵S
n=3
n+1.
∴S
n-1=3
n-1+1
∴a
n=3
n+1-(3
n-1+1)=2•3
n-1.
当n=1时,a
1=S
1=4
∴数列{a
n}的通项公式为a
n=
;
(2)b
n=a
n(2n-1)=
,
∴令数列{b
n}的前n项的和T
n,
则当n=1时,T
1=4,
当n≥2时,T
n=4+2•3•3+2•5•3
2+…+2(2n-1)3
n-1,
3T
n=3×4+2•3•3
2+2•5•3
3+…+2(2n-1)3
n,
∴-2T
n=10+2•2•3+2•2•3
2+…+2•23
n-1-2(2n-1)3
n,
=10+4
-2(2n-1)3
n=10+2(3
n-3)-2(2n-1)3
nT
n=(2-2n)3
n+2,
综上所述T
n=
.
点评:此题是个中档题.考查根据a
n=
求数列通项公式的方法以及错位相减法求数列的前n项和,体现了分类讨论的思想.以及学生综合运用知识解决问题的能力.