设二次函数f（x）=x²+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x₂-x₁的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x₂．

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证：c≥3a；
（Ⅲ）若a＞0，函数f（sinα）的最大值为8，求b的值．

设二次函数f（x）=x²+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1．求实数a的取值范围．

（2014•长宁区一模）设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx

(k∈R)

，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）证明：当an∈(0，

1

2

)时，数列{a_n}在该区间上是递增数列；
（3）已知a1=

1

3

，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N^*，都有log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)＞-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．