Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证：c≥3a；
（Ⅲ）若a＞0，函数f（sinα）的最大值为8，求b的值．

Answer 1

分析：（1）取α=

π

2

，β=π，可求得f（1）=a+b+c≥0，f（1）=a+b+c≤0，从而f（1）=0；
（2）取β=0，有f（3）=9a+3b+c≤0，而f（1）=a+b+c=0，可得b=-（a+c），代入9a-3（a+c）+c≤0可得c≥3a；
（3）设sinx=t，f（sinx）=f（t）=a(t-

a+c

2a

)2+c-

(a+c)

4a

2，由a＞0，c≥3a，可求得

a+c

2a

≥2，从而可得二次函数f（t）在t∈[-1，1]上递减，而f（x）_最大=8，问题解决．

解答：（本小题满分16分）
解：（1）取α=

π

2

，得f（sinα）=f（1）=a+b+c≥0
取β=π，得f（2+cosβ）=f（1）=a+b+c≤0
∴f（1）=0
（2）证：取β=0，得f（2+cosβ）=f（3）=9a+3b+c≤0
由（1）得f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c）代入得9a-3（a+c）+c≤0
∴c≥3a
（3）设sinx=t，则-1≤t≤1又b=-（a+c），
∴f（sinx）=f（t）=at²-（a+c）t+c=a(t-

a+c

2a

)2+c-

(a+c)

4a

2，
∵a＞0，c≥3a，
∴

a+c

2a

≥

a+3a

2a

=2，
∴二次函数f（t）在t∈[-1，1]上递减
∴t=-1时，f（x）_最大=a+（a+c）+c=8
∴a+c=4，b=-（a+c）=-4．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查恒成立问题与二次函数的性质的应用，换元后分析出其对称轴t=

a+c

2a

≥2是关键，属于难题．