指数函数的定义 一般地.函数(>0且≠1)叫做指数函数.其中是自变量.函数的定义域为R. 提问:在下列的关系式中.哪些不是指数函数.为什么? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (>1.且) 小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为>0.是任意一个实数时.是一个确定的实数.所以函数的定义域为实数集R. 若<0.如在实数范围内的函数值不存在. 若=1, 是一个常量.没有研究的意义.只有满足的形式才能称为指数函数.不符合. 我们在学习函数的单调性的时候.主要是根据函数的图象.即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过 先来研究>1的情况 用计算机完成以下表格.并且用计算机画出函数的图象 1 2 4 y=2x 再研究.0<<1的情况.用计算机完成以下表格并绘出函数的图象. 1 2 4 从图中我们看出 通过图象看出实质是上的 讨论:的图象关于轴对称.所以这两个函数是偶函数.对吗? 0 ②利用电脑软件画出的函数图象. 问题:1:从画出的图象中.你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从图上看(>1)与(0<<1)两函数图象的特征. 问题2:根据函数的图象研究函数的定义域.值域.特殊点.单调性.最大(小)值.奇偶性. 问题3:指数函数(>0且≠1).当底数越大时.函数图象间有什么样的关系. 图象特征 函数性质 >1 0<<1 >1 0<<1 向轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点(0.1) =1 自左向右. 图象逐渐上升 自左向右. 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 >0.>1 >0.<1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 <0.<1 <0.>1 5.利用函数的单调性.结合图象还可以看出: (1)在(>0且≠1)值域是 (2)若 (3)对于指数函数(>0且≠1).总有 (4)当>1时.若<.则<, 例题: 例1:(P66 例6)已知指数函数(>0且≠1)的图象过点.求 分析:要求再把0.1.3分别代入.即可求得 提问:要求出指数函数.需要几个条件? 课堂练习:P68 练习:第1.2.3题 补充练习:1.函数 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(2013•闸北区一模)假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念,但还没有学习过对数的相关概念.由指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在实数集R上是单调函数,可知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)存在反函数y=f-1(x),x∈(0,+∞).请你依据上述假设和已知,在不涉及对数的定义和表达形式的前提下,证明下列命题:
(1)对于任意的正实数x1,x2,都有f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2)
(2)函数y=f-1(x)是单调函数.

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设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点().

(1) 当时,试写出抛物线上的三个定点的坐标,从而使得

(2)当时,若

求证:

(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:

“若,则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);

② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设

分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时,抛物线的焦点为

分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

,不妨取

解:(1)抛物线的焦点为,设

分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为,所以

故可取满足条件.

(2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

所以.

(3) ①取时,抛物线的焦点为

分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

,不妨取

.

是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设,分别过

抛物线的准线的垂线,垂足分别为

及抛物线的定义得

,即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则

,所以.

(说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.)

③ 补充条件1:“点的纵坐标)满足 ”,即:

“当时,若,且点的纵坐标)满足,则”.此命题为真.事实上,设

分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由

及抛物线的定义得,即,则

又由,所以,故命题为真.

补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即:

“当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)

 

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已知等差数列{an}的首项为p,公差为d(d>0).对于不同的自然数n,直线x=an与x轴和指数函数数学公式的图象分别交于点An与Bn(如图所示),记Bn的坐标为(an,bn),直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2,一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn
(1)求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列;
(2)设{an}的公差d=1,是否存在这样的正整数n,构成以bn,bn+1,bn+2为边长的三角形?并请说明理由;
(3)(理)设{an}的公差d(d>0)为已知常数,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列{sn}各项的和S>2010?并请说明理由.
(4)(文)设{an}的公差d=1,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列{sn}各项的和S>2010?如果存在,给出一个符合条件的p值;如果不存在,请说明理由.

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已知等差数列{an}的首项为p,公差为d(d>0).对于不同的自然数n,直线x=an与x轴和指数函数的图象分别交于点An与Bn(如图所示),记Bn的坐标为(an,bn),直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2,一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn
(1)求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列;
(2)设{an}的公差d=1,是否存在这样的正整数n,构成以bn,bn+1,bn+2为边长的三角形?并请说明理由;
(3)(理)设{an}的公差d(d>0)为已知常数,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列{sn}各项的和S>2010?并请说明理由.
(4)(文)设{an}的公差d=1,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列{sn}各项的和S>2010?如果存在,给出一个符合条件的p值;如果不存在,请说明理由.

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已知等差数列{an}的首项为p,公差为d(d>0).对于不同的自然数n,直线x=an与x轴和指数函数的图象分别交于点An与Bn(如图所示),记Bn的坐标为(an,bn),直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2,一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn
(1)求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列;
(2)设{an}的公差d=1,是否存在这样的正整数n,构成以bn,bn+1,bn+2为边长的三角形?并请说明理由;
(3)(理科做,文科不做)设{an}的公差d=1,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列{sn}各项的和S>2010?如果存在,给出一个符合条件的p值;如果不存在,请说明理由.(参考数据:210=1024)

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