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已知等差数列{an}的首项为p,公差为d(d>0).对于不同的自然数n,直线x=an与x轴和指数函数的图象分别交于点An与Bn(如图所示),记Bn的坐标为(an,bn),直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2,一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn
(1)求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列;
(2)设{an}的公差d=1,是否存在这样的正整数n,构成以bn,bn+1,bn+2为边长的三角形?并请说明理由;
(3)(理)设{an}的公差d(d>0)为已知常数,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列{sn}各项的和S>2010?并请说明理由.
(4)(文)设{an}的公差d=1,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列{sn}各项的和S>2010?如果存在,给出一个符合条件的p值;如果不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1))an=p+(n-1)d,直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的两底长度AnBn=f(an),An+1Bn+1=f(an+1).高为AnAn+1 =d,利用梯形面积公式表示出sn.利用等比数列定义进行证明即可.
(2)an=-1+(n-1)=n-2,,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,则bn+2+bn+1>bn考查次不等式解的情况作解答.
(3)利用无穷等比数列求和公式,将S>2010 化简为探讨p的存在性.
(4)利用无穷等比数列求和公式,将S>2010 化简为 ,探讨p的存在性.
解答:解:(1)an=p+(n-1)d,(2分)
对于任意自然数n,=
所以数列{sn}是等比数列且公比
因为d>0,所以|q|<1(4分)
(写成,得公比也可)
(2)an=-1+(n-1)=n-2,
对每个正整数n,bn>bn+1>bn+2(6分)
若以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,
则bn+2+bn+1>bn,即,1+2>4,
这是不可能的         (9分)
所以对每一个正整数n,以bn,bn+1,bn+2为边长不能构成三角形            (10分)
(3)(理)由(1)知,0<q<1,(11分)
所以(14分)
(16分)
两边取对数,知只要a1=p取值为小于的实数,就有S>2010(18分)
说明:如果分别给出a1与d的具体值,说明清楚问题,也参照前面的评分标准酌情给分,但不得超过该部分分值的一半.
(4)(文)(11分)
所以=(14分)
如果存在p使得,即(16分)
两边取对数得:p<-log21340,
因此符合条件的p值存在,log21340≈10.4,可取p=-11等               (18分)
说明:通过具体的p值,验证也可.
点评:本题是函数与数列、不等式的结合.考查等比数列的判定,含参数不等式解的讨论.考查分析解决问题,计算,逻辑思维等能力.
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