函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0.

（1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；

（2）若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.

函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0.

（1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；

（2）若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.

设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意正实数x、y,有f(xy)=f(x)+f(y),已知f(2)=1,且当x＞1时,f(x)＞0.

(1)求证:f()=-1;

(2)判断f(x)的单调性;

(3)数列{a_n}中,a_n＞0,且f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)-1(n∈N^*),其中S_n是{a_n}的前n项的和,求a_n;

(4)在(3)的条件下,是否存在正常数M,使得2ⁿ·a₁·a₂·…·a_n≥M(2a₁-1)(2a₂-1)…(2a_n-1)对一切n∈N^*都成立?若存在,求出M的值;若不存在,请说明理由.

设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、x2∈[

1

3

，1]都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．