Question

设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、x2∈[

1

3

，1]都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

Answer 1

分析：（1）牵扯出函数的定义域，求出导函数，判断出导函数在定义域上大于0恒成立，得到函数在定义域上单调递增．
（2）先将问题转化为“f′（x）最大值≤g′（x）的最小值”，利用导函数求出f′（x）的最大值，再利用导数
求g′（x）的最小值需度m的范围分类讨论，求出最小值，列出不等式，求出m的范围．
（3）求出各个导数值，用分析法将要证的不等式化简，利用数学归纳法分三步得证．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2x+

2

x

∴f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立
故f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
（2）据题意，问题转化为f′（x）最大值≤g′（x）的最小值
令∅（x）=f′（x）
∵∅′(x)=2-

2

x2

=

2(x+1)(x-1)

x2

当x∈ [

1

3

，1]时，∅′（x）＜0
∴∅(x)在 [

1

3

，1]为减函数
∴∅（x）在[

1

3

，1]的最大值为∅(

1

3

)=

20

3

∵g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)=(x2-

m2

12

)(2x+

2

x

)=2x3+(2-

m2

6

)x-

m2

6x

∴g′(x)=6x2+

m2

6x2

+2-

m2

6

令t=6x²则h（t）=t+

m2

t

+2-

m2

6

由x∈ [

1

3

，1]知t∈[

2

3

，6]转化为求函数h（t）=t+

m2

t

+2-

m2

6

在[

2

3

，6]上最小值
又h(t)=t+

m2

t

+2-

m2

6

≥2m+2-

m2

6

（当且仅当t=m时取等号）
①若

2

3

≤m≤6时，g′（x）的最小值为h（m）=2m+2-

m2

6

此时由f′（x）最大值≤g′（x）的最小值得2m+2-

m2

6

≥

20

3

解得6-2

2

≤m≤6+2

2

∴6-2

2

≤m≤6
②若m＞6时，函数y=h（t）在[

2

3

，6]上为减函数
即g′（x）的最小值为h（6）6+

m2

6

+2-

m2

6

=8由题意有8＞

20

3

恒成立
∴m＞6
③若m＜

2

3

时，函数y=h（t）在[

2

3

，6]为增函数，则g′（x）的最小值为h(

2

3

)=

8

3

+

4

3

m2
因此，必须

8

3

+

4

3

m2≥

20

3

此时无解
综上所述，m实数的取值范围[6-6

2

，+∞)
（III）问题即证2n(a+

1

a

)n-2n-1×2(an+

1

an

)≥2n(2n-2)
即证(a+

1

a

)n-(an+

1

an

)≥2n-2
下面用数学归纳法证明
当n=1时，左边=0，右边=0不等式成立
假设n=k（k≥1）时成立即(a+

1

a

)k-(ak+

1

ak

)≥2k-2
则当n=k+1时，(a+

1

a

)k+1-(ak+1+

1

ak+1

)= (a+

1

a

)k(a+

1

a

)-(ak+1+

1

ak+1

)≥（2^k-2）×2+2=2^k+1-2
即当n=k+1时原不等式成立

点评：求不等式恒成立问题的一般思路是分离参数，构造新函数，求函数的最值，有时也直接将问题转化为求两个函数的最值；求函数的最值常利用导数研究函数的单调性求出，但若函数中有参数，一般要注意讨论．