已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值； 

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

【解析】第一问当时，，则。

依题意得：，即    解得

第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，令得

当变化时，的变化情况如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又，，。∴在上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0；

当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为。

（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

若，则代入（*）式得：

即，而此方程无解，因此。此时，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，则

∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

 

设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。

对于A∈S(m,n),记r_i(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C_j(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：

记K(A)为∣r₁(A)∣,∣R₂(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C₁(A)∣,∣C₂(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

（1）   对如下数表A，求K（A）的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

 

（2）设数表A∈S（2,3）形如

1	1	c
a	b	-1

 

求K（A）的最大值；

（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

【解析】（1）因为，

所以

（2）  不妨设.由题意得.又因为，所以，

于是，，

    

所以，当，且时，取得最大值1。

（3）对于给定的正整数t，任给数表如下，

		…
		…

任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每一个数换成它的相反数，所得数表

，并且，因此，不妨设，

且。

由得定义知，，

又因为

所以

     

     

所以，

对数表：

1	1	…	1		…
		…		-1	…	-1

 

则且，

综上，对于所有的，的最大值为

 

已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F₁.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到，又因为，这样可知得到。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到

，再利用可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以椭圆E的方程为…………………………4分

(Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分

 代入椭圆E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x₁ +x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，

圆P的方程为（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知函数，其中.

  （1）若在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；

  （2）讨论函数在的单调性；

  （3）若函数在上的最小值为2，求的取值范围.

【解析】第一问，因在处取得极值

所以，，解得，此时，可得求曲线在点

处的切线方程为：

第二问中，易得的分母大于零，

①当时， ，函数在上单调递增；

②当时，由可得，由解得

第三问，当时由（2）可知，在上处取得最小值，

当时由（2）可知在处取得最小值，不符合题意.

综上，函数在上的最小值为2时，求的取值范围是

 

解析：依题意得f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．由f(x)在[3,5]上是增函数与f(x)的图象关于直线x＝1对称得，f(x)在[－3，－1]上是减函数．又函数f(x)是以4为周期的函数，因此f(x)在[1,3]上是减函数，f(x)在[1,3]上的最大值是f(1)，最小值是f(3)．

答案：A