如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，…是轴正半轴上的点，且，，…，，… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．

（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；

（2）求证：（）；

（3）设，对所有，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用有，得到

第二问证明：①当时，可求得，命题成立；②假设当时，命题成立，即有则当时，由归纳假设及，

得

第三问 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

解：（1）依题意，有，，………………4分

（2）证明：①当时，可求得，命题成立； ……………2分

②假设当时，命题成立，即有，……………………1分

则当时，由归纳假设及，

得．

即

解得（不合题意，舍去）

即当时，命题成立．  …………………………………………4分

综上所述，对所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

．……………2分

由题意，有． 所以，

 

请先阅读：

在等式（）的两边求导，得：，

由求导法则，得，化简得等式：。

（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：。

（2）对于正整数，求证：

（i）；  （ii）；  （iii）。

 

一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每小时通过管道向所管辖区域供水千吨．

（1）多少小时后，蓄水池存水量最少？

（2）当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有多长？

【解析】第一问中（1）设小时后，蓄水池有水千吨．依题意，当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨

第二问依题意，   解得：

解：（1）设小时后，蓄水池有水千吨．………………………………………1分

依题意，…………………………………………4分

当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨． ………2分

（2）依题意，   ………………………………………………3分

解得：．  …………………………………………………………………3分

所以，当天有8小时会出现供水紧张的情况

 

甲船由岛出发向北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里∕小时，在甲船从岛出发的同时，乙船从岛正南海里处的岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里∕小时。

⑴求出发小时时两船相距多少海里？

⑴   两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？

【解析】第一问中根据时间得到出发小时时两船相距的海里为

第二问设时间为t，则

利用二次函数求得最值，

解：⑴依题意有：两船相距

答：出发3小时时两船相距海里                           

⑵两船出发后t小时时相距最近，即

即当t=4时两船最近，最近距离为海里。

 

在中，已知 ，面积，

（1）求的三边的长；

（2）设是（含边界）内的一点，到三边的距离分别是

①写出所满足的等量关系；

②利用线性规划相关知识求出的取值范围.

【解析】第一问中利用设中角所对边分别为

由得

    

又由得即 

又由得即 

又       又得

即的三边长

第二问中，①得

故

②

令依题意有

作图，然后结合区域得到最值。