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    20． 集合A是由适合以下性质的函数f (x) 构成的: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）集合A是由适合以下性质的函数构成的；对于任意的，都有

      （1）分别判断函数是否在集合A中？并说明理由；

      （2）设函数，试求|2a+b|的取值范围；

      （3）在（2）的条件下，若，且对于满足（2）的每个实数a，存在最小的实数m，使得当恒成立，试求用a表示m的表达式.

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    （本小题满分13分）

    设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”.

    (1)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

    (2)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

    (3)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，．

     

     

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    （本小题满分13分）
    设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”.
    (1)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
    (2)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；
    (3)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，．

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     (2012年高考湖北卷理科21)（本小题满分13分）

    设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

    （I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

    （Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

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    （本题满分14分）集合A是由适合以下性质的函数f(x)构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数，都有.
    （1）试判断f(x)= x2及g(x)=log2x是否在集合A中，并说明理由；
    （2）设f(x)ÎA且定义域为(0，+¥)，值域为(0，1)，，试求出一个满足以上条件的函数f (x)的解析式.

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    一、选择题（每小题5分，共40分）

    题 号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答 案

    B

    A

    D

    C

    C

    A

    B

    C

    二、填空题（每小题5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分）

       9．2π； π   10．12π；x=13π    11．

       12．（±2，0）；－    13．9；  41      14．12；  （－6，4）

    三、15．（本小题满分12分）

    解：（1）……………………3分

                      ………………5分

       （2）点P的坐标为………………6分

            由点P在直线上，即.………………9分

           

            ……………………12分

    ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.

    ∴CD⊥平面PAD……………………………………3分

    ∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.

    ∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.

    ∴AM⊥平面PCD.

    ∴AM⊥PD.…………………………………………5分

       （II）解：∵AM⊥平面PCD（已证）.

    ∴AM⊥PM，AM⊥NM.

    ∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角.…………………………7分

    ∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.

    在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.

    ∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=PD=

    由Rt△PMN∽Rt△PCD，得 ∴.

    …………10分

    即二面角P―AM―N的大小为.（III）解：延长NM，CD交于点E.

    ∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影

    ∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.…………12分

    在Rt△PMN中，

    ∴CD与平面AMN所成的角的大小为…………15分

    17． （I）解：因为{an}是等比数列a1=1,a2=a.

    ∴a≠0，an=an－1.……………………………………2分

    又…………5分

    即是以a为首项, a2为公比的等比数列.

    ……………………9分

    （II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：……………………10分

    解法一：设{bn}的公比为q，则

    又a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，

    a2, a4, a6, …, a2n , …是以a为首项，q为公比的等比数列，…………………………11分

    即{an}为：1，a, q, aq , q2, aq2, ……………………………………………………………12分

    当q=a2时，{an}是等比数列；

    当q≠a2时，{an}不是等比数列.…………………………………………………………14分

    解法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：

    设{bn}的公比为q

    （1）取a=q=1时，an=1(n∈N)，此时bn=anan+1=1, {an}、{bn}都是等比数列.…………11分

    （2）取a=2, q=1时，

    所以{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列.……………………………………14分

    18．（本小题满分13分）

       （I）解：设点P、Q、M的坐标分别是P(x1, 0)、Q（0，y1）、M(x, y) 其中x1≤0，y1≤0,依条件可得……………………………………………………………2分

    又依

    代入（*）式，得……7分

    即点M的轨迹方程为

    （II）解：设M点的坐标是（4cosα，2sinα）其中0≤α<2π

    S四边形OAMB=S△OAM+S△OBM

    仅当时，

    四边形OAMB的面积有最大值. …………13分

    19．（本小题满分13分）

    解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

    设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1, y1) Q (x2,y2).

    （I）令，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）

    .

    即两船出发后3小时时，相距锂.……………………8分

    （II）由（I）的解法过程易知：

    ∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为20 .………………13分

    即两船出发4小时时，相距20 海里为两船最近距离.

    20．（本小题满分13分）

       （I）解：取x=1 , y=4则

        

    ………………6分

      （II）设函数满足其值域为（1，2）

    且……………………………………………………9分

    又任意取x>0, y>0且x≠y则

    ………………………13分（囿于篇幅，若有其它正确解法请按相应步骤给分.）

     


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