已知函数f(x)＝alnx－x²＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x₁、x₂∈(0，＋∞)，都|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，

即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x²＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x²＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是

 

在如图所示的几何体中．EA⊥平面ABC，

DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE=2，M是AB的中点．

（Ⅰ）求证：CM⊥EM ；

（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积

（Ⅲ）求直线DE与平面EMC所成角的正切值．  

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）不等式的解集为           .

B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝      cm.

C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程（为参数）化成普通方程为            .

 

如图1-4-13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高.已知BD=4，AB=29，试求出图中其他未知线段的长.

图1-4-13

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD,如图2.

（1）   求证：A₁C⊥平面BCDE；

（2）   若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；

（3）   线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由

【解析】（1）∵DE∥BC∴∴∴∴又∵∴

（2）如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，

则

设平面的法向量为，则,又，，所以，令，则，所以，

设CM与平面所成角为。因为，

所以

所以CM与平面所成角为。