题目列表(包括答案和解析)
(本题满分16分)已知二次函数f (x) = x2 ??ax + a (x∈R)同时满足：①不等式 f (x) ≤ 0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0 < x1 < x2，使得不等式f (x1) > f (x2)成立．设数列{an}的前 n 项和Sn = f (n)．（1）求函数f (x)的表达式；（2）求数列{an}的通项公式；（3）在各项均不为零的数列{cn}中，若ci·ci+1 < 0，则称ci，ci+1为这个数列{cn}一对变号项．令cn = 1 ?? （n为正整数），求数列{cn}的变号项的对数．
(本题满分12分) 已知二次函数
满足
，且关于
的方程
的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。
（Ⅰ）求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若函数
在区间（-1-
，1-）上具有单调性，求实数C的取值范围
(本题满分12分)
已知二次函数
满足
且
．
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）当
时，不等式：
恒成立，求实数
的范围．
（．(本题满分12分)
已知二次函数
和“伪二次函数”
（
、
、
），
（I）证明：只要
，无论取何值，函数
在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数图象上任意取不同两点
，线段
中点的横坐标为
，记直线的斜率为
，
（i）求证：
；
（ii）对于“伪二次函数”
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.
(本题满分12分)
已知二次函数
满足
且
．
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）当
时，不等式：
恒成立，求实数
的范围．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．
2．
3．
4．
5．1 6．
7．
8．
9．16 10．8
11．
12．
13．
14． ①③
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．(1)设集合
中的点
为事件
， 区域的面积为
36， 区域
的面积为
18
．
（2）设点
在集合为事件
， 甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36个，其中在集合中的点有21个，故
．
16．（1）由4sinB ? sin2
+ cos2B = 1 +
得：
， 
或
．
（2）法1：
为锐角 
由已知得：
， 角
为锐角 
可得：
由正弦定理
得：
．
法2：由
得：
， 由余弦定理知：
即：
．
17．（1）证明：连接
，取
中点，连接
．
在等腰梯形
中，
∥
，AB=AD，
，E是BC的中点
与
都是等边三角形 
平面
平面
平面 
．
（2）证明：连接
交
于点，连接
∥
，且
＝ 四边形
是平行四边形 
是线段的中点
是线段
的中点 
∥
平面
平面．
（3）
与平面
不垂直．
证明：假设
平面， 则
平面 
，
平面
平面
，这与
矛盾
与平面不垂直．
18．（1）设椭圆的标准方程为
依题意得：
，得
∴
所以，椭圆的标准方程为
．
（2）设过点的直线方程为：
，代入椭圆方程得;
(*)
依题意得：
，即
得：
，且方程的根为
当点
位于
轴上方时，过点与
垂直的直线与轴交于点
，
直线的方程是：
， 
所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为：
同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：
．
（3）设
，
由
=
得：
，代入
（**） 要证
=
，即证
由方程组（**）可知方程组（1）成立,(2)显然成立．∴
=
19.．解（1）
的解集有且只有一个元素，
当a=4时，函数
上递减
故存在
，使得不等式
成立
当a=0时，函数
上递增
故不存在，使得不等式成立
综上，得a=4，
…………………………5分
（2）由（1）可知
当n=1时，
当
时，
（3）
，
…
+
=
+
>
>
20解：（1）由
的定义可知，
（对所有实数
）等价于
（对所有实数）这又等价于
，即
对所有实数均成立. （*）
由于
的最大值为
，
故（*）等价于
，即
，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当
时，由（1）知（对所有实数
）
则由
及
易知
，
再由
的单调性可知，
函数在区间
上的单调增区间的长度
为
（参见示意图1）
（ii）
时，不妨设
，则
，于是
当
时，有
，从而；
当
时，有
从而 
；
当
时，
，及
，由方程
解得
图象交点的横坐标为
⑴
显然
，
这表明
在
与
之间。由⑴易知
综上可知，在区间上，
（参见示意图2）
故由函数
及
的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为
，由于
，即
，得
⑵
故由⑴、⑵得 
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为
。
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