Question

(本题满分16分)已知二次函数f (x) = x² ??ax + a (x∈R)同时满足：①不等式 f (x) ≤ 0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0 < x₁ < x₂，使得不等式f (x₁) > f (x₂)成立．设数列{a_n}的前 n 项和S_n = f (n)．（1）求函数f (x)的表达式；（2）求数列{a_n}的通项公式；（3）在各项均不为零的数列{c_n}中，若c_i·c_i+1 < 0，则称c_i，c_i+1为这个数列{c_n}一对变号项．令c_n = 1 ?? （n为正整数），求数列{c_n}的变号项的对数．

Answer 1

(Ⅰ) a = 4， f (x) = x² ??4x + 4．   (Ⅱ)  a_n = （Ⅲ）共有3对变号项

解析:

（1）∵f (x) ≤ 0的解集有且只有一个元素，

        ∴  △ = a² ??4a = 0 ?? a = 0或a = 4，    1分

        当 a = 4 时，函数f (x) = x² ??4x + 4在(0，2)上递减，

        故存在0 < x₁ < x₂，使得不等式f (x₁) > f (x₂)成立． 3分

当 a = 0 时，函数f (x) = x² 在(0，+∞)上递增，   

        故不存在0 < x₁ < x₂，使得不等式f (x₁) > f (x₂)成立．

        综上：a = 4， f (x) = x² ??4x + 4．     5分

      ⑵由⑴可知：S_n = n² ??4n + 4． 当 n = 1时，a₁ = S₁ = 1，   6分

        当n ≥ 2时，a_n = S_n ?? S_n??1= (n² ??4n + 4) ?? [(n ??1)² ??4(n ??1) + 4] = 2n ?? 5，

        ∴  a_n =     10分

      ⑶法一：由题设c_n = ， 12分

∵ 当n ≥ 2时，c_{n + 1} ?? c_n = ?? = ，

∴ 当n ≥ 3时，数列{c_n}递增， ∵ c₃ = ??3 < 0，又由c_n = 1 ?? ≥ 0，得 n ≥ 5，

  可知 c₄·c₅ < 0，   即 n ≥ 3时，有且只有一对变号项，   14分

又 ∵ c₁ = ??3，c₂ = 5，c₃ = ??3，即 c₁·c₂ < 0，c₂·c₃ < 0，∴ 此处有2对变号项．

综上可得：数列{c_n}的变号项有3对．   16分

法二：当i ≥ 2时，c_i = 1 ?? = ， ∵  c_i·c_i+1 < 0 ，

 ∴ · < 0，∴  < i < 或  < i < ，   ∵  i ≥ 2，i∈N*，∴ i = 2或4，即  c₂·c₃ < 0，c₄·c₅ < 0，此处有2对变号项， 14分又 ∵ c₁ = ??3，c₂ = 5，即 c₁·c₂ < 0，此处有一对变号项，综上可得：数列{c_n}的共有3对变号项  16分