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    18．在以O为原点的直角坐标系中.点A为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）

    在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，—2），点C满足，其中，且，

    （1）求点C的轨迹方程；

    （2）设点C的轨迹与双曲线（a>0，b>0）相交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：为定值；

    （3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围。

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    （本小题满分14分）

    设函数，其中．

    ( I )若函数图象恒过定点P，且点P在的图象上，求m的值；

    (Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；

    (Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，

    使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

     

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    （本小题满分14分）如图，椭圆的焦点在x轴上，左右顶点分别为A1，A，上顶点B，抛物线C1，C2分别以A1，B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线上一点P.

    （1）求椭圆C及抛物线C1，C2的方程；

    （2）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M，N，已知点，求的最小值.

     

     

     

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    （本小题满分14分）
    设函数，其中．
    ( I )若函数图象恒过定点P，且点P在的图象上，求m的值；
    (Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；
    (Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，
    使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

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    （本小题满分14分）

    已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交直线X＝-2于点Q.

    (Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

    (Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；

    (Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.

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    一．选择题：DBBCB BCCCC

    解析：1：因为=(2 -││)+ ,由选择支知││<2,所以的实部为正数,虚部为1,根据这个隐含条件,(A),(B),(C)均可筛去,所以选(D).

    2：先将周期最小的选项（A）的周期T=代入检验，不成立则排除(A)；再检验（B）成立. 所以选(B).

    3：∵∴可取代入四个选项验证，发现B错误，∴应选(B).

    4：“的展开式中各项系数之和为128” Þ 2n =128 Þ n=7；

         由通项公式Tr+1==，

       令7－=－3，解得r=6，此时T7= ，故选C

    5:作两直线的图象,从图中可以看出:

    直线的倾斜角的取值范围应选(B).

     

     

     

     

    6：取特殊数列=，排除(A)、(C)、(D). ∴选(B).

    7：如图所示,

    作

    ∴柱体体积

        故选C.

    8:由图象可知,x=1时=1. 由此可排除(A)、(D)；再由周期T=8，可排除(B).

    ∴应选(C).

    9：利用椭圆的定义可得故离心率故选C。

    10：设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为：4005%=20元，5005%+20010%=45元，可排除、、.故选.

    二．填空题：11、2； 12、a>0且；13、；14、；15、7；

    解析：11：因为包含了任意一个元素的三元素集合共个，所以在中，每个元素都出现了次，所以

    ，所以

    。

     

    12：由已知可画出下图，符合题设，故a>0且。

     

    13：设P(x，y)，则当时，点P的轨迹为，由此可得点P的横坐标。

    又当P在x轴上时，，点P在y轴上时，为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：；

     14．解：在平面直角坐标系中，曲线和分别表示圆和直线，易知＝

    15．解： 由圆的性质PA=PC?PB，得，PB=12，连接OA并反向延长

    交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,

    DB=8,J记圆的半径为R,由于ED?DA=CD?DB

    因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7

    三．解答题：

    16.解：（Ⅰ）∵   ∴----①,----② 

    由①得------③

    在△ABC中,由正弦定理得=,设＝

    则,代入③得

     

    ∵    ∴  ∴,∵  ∴ ……………………6分

    (Ⅱ) ∵,由余弦定理得,--④

     由②得-⑤  由④⑤得，∴=.  ……………………………12分

    17.解：设该观众先答A题所获奖金为元，先答B题所获奖金为元，………………………1分

    依题意可得可能取的值为：0, ，3， 的可能取值为：0，2，3

    ………………………2分

    ∵ ， ， ，

    ∴ ，                       ………………………6分

    ∵ ，，   

    ∴                       ………………………10分

    ∵∴，即 

     ∴该观众应先回答B题所获奖金的期望较大．        ……………………………12分

    18.解：（Ⅰ）设,由得，解得或，若则与矛盾，所以不合舍去。

    即。---------------------------------------------------------------------------6

    （Ⅱ）圆即，其圆心为C（3，－1），半径，

    ∴直线OB的方程为，-----------------------------------------------------------------10

    设圆心C（3，－1）关于直线的对称点的坐标为（a，b），则

    解得：，则所求的圆的方程为。-----------------------------14

    19.(Ⅰ)证明：∵对任意的   ①

    令得      ②…………1分

    令得……………………2分

    ∴ 由②得

    ∴函数为奇函数………………………………3分

    (Ⅱ)证明:（1）当n＝1时等式显然成立

    （2）假设当n＝k（k）时等式成立，即，…………4分

    则当n＝k＋1时有

    ，由①得………………6分

    ∵  ∴

    ∴当n＝k＋1时，等式成立。

    综（1）、（2）知对任意的,成立。………………8分

    (Ⅲ)解:设，因函数为奇函数，结合①得

    ＝，……………………9分

    ∵

    又∵当时，

    ∴，∴

    ∴函数在R上单调递减…………………………………………12分

    ∴ 

    由（2）的结论得，

    ∵，∴＝－2n

    ∵函数为奇函数，∴

    ∴  ，＝2n。……………………14分

     

     

    20.解：(1)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点B2的位置，连接A1B2，则A1B2就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线。                                            ……………………………………1分

    设棱柱的棱长为，则B2C=AC=AA1＝,

    ∵CD∥AA1　　　　　　　∴D为CC1的中点，……………………………2分

    在Rt△A1AB2中，由勾股定理得，

    即　解得，……………………4分

    ∵∴  ……………………………………6分

    (2)设A1B与AB1的交点为O,连结BB2,OD，则……………………………7分

    ∵平面，平面  ∴平面，

    即在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行   ……………………………9分

     (3)连结AD,B1D ∵≌≌

    ∴   ∴……………………………11分

      　∵     ∴平面A1ABB1      ……………………………13分

    又∵平面A1BD    ∴平面A1BD⊥平面A1ABB1  ……………………………………14分

     

    21.解：（Ⅰ）…………………………………………1分

    由得， ………………………………………………2分

    又得  ……………………………………………………3分

    （Ⅱ）k＝，

    对任意的，即对任意的恒成立……4分

    等价于对任意的恒成立。…………………………5分

    令g(x)＝，h(x)＝，

    则， …………………………………………6分

    ，当且仅当时“＝”成立，…………7分

    h(x)＝在（0，1）上为增函数，h(x)max＜2……………………………8分

             ……………………………………………………………………9分

    （Ⅲ）设则＝……10分

    即，对恒成立…………………………11分

    ，对恒成立

    即对恒成立…………………………13分

    解得……………………………………………………14分


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