Question

（本小题满分14分）
设函数，其中．
( I )若函数图象恒过定点P，且点P在的图象上，求m的值；
(Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；
(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，
使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）（2）时，在上为增函数，
时，在上为增函数，在为减函数（3）如果存在满意条件的、，则的取值范围是

解析试题分析：解：（Ⅰ）令，则，即函数的图象恒过定点
则
（Ⅱ），定义域为，

=
=
，则
当时，
此时在上单调递增，
当时，由得
由得，
此时在上为增函数，
在为减函数，
综上当时，在上为增函数，
时，在上为增函数，在为减函数，
（Ⅲ）由条件（Ⅰ）知
假设曲线上存在两点、满足题意，则、两点只能在轴两侧
设，则
是以为直角顶点的直角三角形，
①
（1）当时，
此时方程①为，化简得.
此方程无解，满足条件的、两点不存在.
（2）当时，，方程①为
即
设，则
显然当时即在上为增函数，
的值域为，即，

综上所述，如果存在满意条件的、，则的取值范围是.
考点：本试题考查了导数的运用。
点评：解决该试题的关键是利用图像过定点得到参数的值，进而求解得到解析式。同时利用导数的符号判定函数单调性，同时要注意对于含有参数的函数进行分类讨论得到结论。二对于不等式的证明，一般利用构造函数，运用导数求解最值，得到参数的范围，属于中档题。