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    题目列表(包括答案和解析)

    (本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

        D、E分别为棱AB、BC的中点， M为棱AA1­上的点，二面角M―DE―A为30°.

       （1）求MA的长；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

       （2）求点C到平面MDE的距离。

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    (本小题满分12分)某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影。

    （1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

    （2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?

    （3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种 ?

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    (本小题满分12分)

    某厂有一面旧墙长14米,现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126平方米的厂房,工程条件是①建1米新墙费用为a元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元,经过讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段x米（x＜14）为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?

     

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    (本小题满分12分)

    已知a,b是正常数, a≠b, x，y(0,＋∞).

       (1)求证:≥,并指出等号成立的条件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

       (2)利用(1)的结论求函数的最小值,并指出取最小值时相应的x 的值.

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    (本小题满分12分)

    已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

       (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

       (2)若tR ＋，x?y＝5,求证k≥1.

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    一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；每个小题给出四个选项，只有一项符合要求）

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    答案

    C

    B

    A

    B

    D

    B

    B

    B

    A

    D

    二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）。

    11、；12、；13、；14、（）；15、①③④

    三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.

    16.解：（1）经过各交叉路口遇到红灯，相当于独立重复试验，∴恰好遇到3次红灯概率为……………………………………………………（6分）

       （2）记“经过交叉路口遇到红灯”事件为A，张华在第1、2个交叉路口未遇到红灯，在第3个交叉路口遇到红灯的概率为：

    ………………………………………………………（12分）

    17.解：（1）∵

    ∴

    又，∴　……………………………………………………2分

    又的等比中项为2，∴

    而，∴，∴，…………………………………4分

    ∴，

    ∴………………………………………………………6分

    （2）……………………………………………………8分

    由∴

    ∴或………………………………………………………………10分

    故　　………………………………………………………12分

    18.（1）解：由得

    ∵

     

    ∴

    ∴

    ∴    ∴ 

        ∴……………………………………………8分

    （2）

    ……………………12分

    19.解法一（几何法）

    （1）证明：∵E是CD中点

    ∴ED=AD=1

    ∴∠AED=45°

    同理∠CEB=45°

    ∴∠BEA=90°  ∴EB⊥EA

    ∵平面D1AE⊥平面ABCE

    ∴EB⊥平面D1AE，AD1平面D1AE

    ∴EB⊥AD1……4分

    （2）设O是AE中点，连结OD1，因为平面

    　　过O作OF⊥AB于F点，连结D1F，则D1F⊥AB，∴∠D1FO就是二面角D1-AB-E的平面角.

    　　在Rt△D1OF中,D1O=,OF=

    ∴

    ∴,即二面角D1-AB-E等于………………………9分

    （3）延长FO交CD于G，过G作GH⊥D1F于H点，

    ∵AB⊥平面D1FG  ∴GH⊥平面D1BA，

    ∵CE//AB   ∴CE//平面D1BA.

    ∴C到平面D1BA的距离等于GH.

    又D1F=

    ∵FG?D1O=D1F?GH

    ∴GH=　　即点　　　………………………13分　

    另解：在Rt△BED1中，BD1=. 又AD1=1，AB=2

    ∴   ∴∠BD1A=90°  ∴

    设点C到平面ABD1的距离为h　则

    ∴  

    ∴…………………………………13分

    解法二：（向量法）

    （1）证明：取AE的中点O，AB的中点F，连结D1O、OF，则OF//BE。

    ∵　DE=DA=1  ∴∠AED=45°

     同理∠BEC=45° ∴∠BEA=90° ∴BE⊥EA  ∴OF⊥AE 

    由已知D1O⊥EA 

    又平面O1AE⊥平面ABCE，∴D1O⊥平面ABCE，以O为坐标原点，OF、OA、OD1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系。则B（），E（），D1（），A（），C（）

    ∴?=（）?（）=0

    ∴ ………………………………………………4分

    （2）解：设平面ABD1的一个法向量为

    则

    令，则y=1，z=1

    ∴  …………………………………………………………………6分

    ∵ OD1­⊥平面ABCE.

    ∴是平面ABE的一个法向量.

    ∴即二面角D1-AB-E等于.  ………………………9分

    （3）设点C到平面ABD1的距离为d，

    则……………………………………………………………13分

    20.解：（1）因为在区间（，-2]上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，所以方程f′(x)的两根满足，…………2分

    由，得，所以，而，故b=0………………4分

    则,从而

    故……………………………………………………………………6分

    （2）对任意的t1,t2[m-2,m],不等式恒成立，等价于在区间[m-2,m]上，当0＜m2时，[m-2,m][ -2,2]，所以在区间[m-2,m]上单调递减，

    ∴， ……………………………………………9分

    解得　……………………………………………………………………11分

    又，∴，∴m的最小值是　……………………………………13分

    21.解：（1）当AC垂直于x轴时，  由椭圆定义，有

    ∴，　　………………………………………………………………2分

    在Rt△AF1F2­中，

    ∴  ∴  ∴…………………………………………4分

    （2）由得：∴

    ∴  ∴  ∴椭圆方程为

    即   设,,

    (i)若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为

    ∴  代入椭圆方程有：

    ∵  ∴

    由韦达定理得：所以 ………………………8分

    于是 同理可得：

    故……………………………………………………………………12分

    （ii）若直线AC⊥x轴，，，，这时，

    综上可知，是定值6　　…………………………………………………………13分

     


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