Question

(本小题满分12分)

某厂有一面旧墙长14米,现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126平方米的厂房,工程条件是①建1米新墙费用为a元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元,经过讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段x米（x＜14）为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?

 

Answer 1

解析：设利用旧墙的一面矩形边长为x米,则矩形的另一面边长为米.

   (1)利用旧墙的一段x米（x＜14）为矩形一面边长,

则修旧墙费用为元.……………………………2分

将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元,其余建新墙的费用为元,故总费用为:

……………………………4分

  ＝

  ＝……………………………5分

所以…………………………6分

当且仅当,即x＝12米时,元.

(2)若利用旧墙的一面为矩形边长x≥14,

则修旧墙的费用为元.

建新墙的费用为元,

故总费用为

            ＝( x≥14) ……………………8分

令,

则),

因为14≤＜,所以－＜0, ?＞196,

从而＞0,所以.……………………10分

所以函数在[14,＋∞)上为增函数,故当x＝14时,

………………………12分

综合上述讨论知,采用方案(1),利用旧墙其中的12米为矩形的一面边长时,建墙总费用最省,为35a元. ………………………13分