已知函数f(x)=

1

4

x2-

1

a

x+ln(x+a)，其中常数a＞0．
（I）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（II）求f（x）的单调递增区间；
（III）已知0＜a＜

1

2

，f′(x)表示f（x）的导数，若x₁，x₂∈（-a，a），x₁≠x₂，且满足f'（x₁）+f'（x₂）=0，试比较f'（x₁+x₂）与f'（0）的大小，并加以证明．

已知函数f（x）=mx-lnx-3（m∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，存在x∈（0，+∞）使f（x）≤nx-4有解，求实数n的取值范围；
（3）当0＜a＜b＜4且b≠e时试比较

1-lna

1-lnb

与

a

b

．

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（2）当0＜x＜y＜e²且x≠e时，试比较

y

x

与

1-lny

1-lnx

的大小．

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，且f（x）在x=

2

处取得极小值-

4 2

3

．设f′（x）表示f（x）的导函数，定义数列{a_n}满足：a_n=f′（

n

）+2（n∈N^*））．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）对任意m，n∈N^*，若m≤n，证明：1+

m

an

≤（1+

1

an

）^m＜3；
（Ⅲ）（理科）试比较（1+

1

an

）^m+1与（1+

1

an+1

）^m+2的大小．