Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，且f（x）在x=

2

处取得极小值-

4 2

3

．设f′（x）表示f（x）的导函数，定义数列{a_n}满足：a_n=f′（

n

）+2（n∈N^*））．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）对任意m，n∈N^*，若m≤n，证明：1+

m

an

≤（1+

1

an

）^m＜3；
（Ⅲ）（理科）试比较（1+

1

an

）^m+1与（1+

1

an+1

）^m+2的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而a=c=e=0，再利用f（x）在x=

2

处取得极小值-

4 2

3

，建立方程组，即可求得函数解析式，利用a_n=f′（

n

）+2，可得数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1+

m

an

≤（1+

1

an

）^m＜3等价于1+

m

n

≤(1+

1

n

)m＜3，利用二项展开式，及放缩法可得结论；
（Ⅲ）解：(1+

1

n

)n+1＞(1+

1

n+1

)n+2等价于（n+1）ln（1+

1

n

）＞（n+1+1）ln（1+

1

n+1

），构造函数f（x）=（x+1）ln（1+

1

x

）（x≥1），则上式等价于证f*n）＞f（n+1）成立，求导函数，求得函数的单调性，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：f′（x）=4ax³+3bx²+2cx+d，
∵函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴ax⁴-bx³+cx²-dx+e=-（ax⁴+bx³+cx²+dx+e），∴a=c=e=0
∴f（x）=bx³+dx，f′（x）=3bx²+d，
∵f（x）在x=

2

处取得极小值-

4 2

3

∴

f′( 2 )=0 f( 2 )=- 4 2 3

，∴

6b+d=0 2 2 b+ 2 d=- 4 2 3

，∴b=

1

3

，d=-2
∴f（x）=

1

3

x3-2x，∴f′（x）=x²-2，
∴a_n=f′（

n

）+2=n；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1+

m

an

≤（1+

1

an

）^m＜3等价于1+

m

n

≤(1+

1

n

)m＜3．
因为(1+

1

n

)m≥

C

0 m

+

C

1 m

×

1

n

=1+

m

n

（当m=1时取等号）．
又m≤n，∴(1+

1

n

)m≤(1+

1

n

)n=1+

C

1 n

×

1

n

+…+

C

n n

×

1

nn

＜1+1+

1

2!

+…+

1

n！

＜1+1+

1

2

+…+

1

2n-1

＜3
（Ⅲ）解：(1+

1

n

)n+1＞(1+

1

n+1

)n+2等价于（n+1）ln（1+

1

n

）＞（n+1+1）ln（1+

1

n+1

），
构造函数f（x）=（x+1）ln（1+

1

x

）（x≥1），则上式等价于证f*n）＞f（n+1）成立，所以f′(x)=ln(1+

1

x

)-

1

x

．
又令g（t）=ln（1+t）-t（t＞0），则g′（t）=

1

1+t

-1＜0当t＞0时成立，即得g（t）在（0，+∞）上单调递减，
于是g（t）＜g（0）=0成立，即ln（1+t）-t＜0，即ln（1+t）＜t（t＞0）成立，
故ln（1+

1

x

）＜

1

x

成立．
所以f′(x)=ln(1+

1

x

)-

1

x

＜0，由此知f（x）单调递减，所以f（n）＞f（n+1），
所以(1+

1

n

)n+1＞(1+

1

n+1

)n+2，
所以（1+

1

an

）^m+1＞（1+

1

an+1

）^m+2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，难度较大．