在△ABC中，已知B＝45°,D是BC边上的一点，AD＝10,AC＝14,DC＝6，

求⑴ ∠ADB的大小；⑵ BD的长.

【解析】本试题主要考查了三角形的余弦定理和正弦定理的运用

第一问中，∵cos∠ADC＝

＝＝－∴ cos∠ADB＝cos(180°－∠ADC)＝－cos∠ADC＝∴ cos∠ADB＝60°

第二问中，结合正弦定理∵∠DAB＝180°－∠ADB－∠B＝75° 

由＝    得BD＝＝5(＋1)

解：⑴ ∵cos∠ADC＝

＝＝－,……………………………3分

∴ cos∠ADB＝cos(180°－∠ADC)＝－cos∠ADC＝，       ……………5分

∴ cos∠ADB＝60°                                    ……………………………6分

⑵ ∵∠DAB＝180°－∠ADB－∠B＝75°                   ……………………………7分

由＝                                 ……………………………9分

得BD＝＝5(＋1)

数列首项，前项和满足等式（常数，……）

（1）求证：为等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列使 （……），求数列的通项公式.

（3）设，求数列的前项和.

【解析】第一问利用由得

两式相减得

故时，

从而又  即，而

从而  故

第二问中，     又故为等比数列，通项公式为

第三问中，

两边同乘以

利用错位相减法得到和。

（1）由得

两式相减得

故时，

从而   ………………3分

又  即，而

从而  故

对任意，为常数，即为等比数列………………5分

（2）    ……………………7分

又故为等比数列，通项公式为………………9分

（3）

两边同乘以

………………11分

两式相减得

如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面平面.

（Ⅰ）求证：点为棱的中点；

（Ⅱ）判断四棱锥和的体积是否相等，并证明。

【解析】本试题主要考查了立体几何中的体积问题的运用。第一问中，

易知，面。由此知：从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D为BB₁中点，可以得证。

（1）过点作于点，取的中点，连。面面且相交于，面内的直线，面。……3分

又面面且相交于，且为等腰三角形，易知，面。由此知：，从而有共面，又易知面，故有从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D为BB₁中点，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

已知，,

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

【解析】第一问中，因为，∴

∴或又∴

第二问中原式=

=进而得到结论。

（Ⅰ）解：∵∴

∴或……………………………………3分

又∴……………………………2分

(Ⅱ) 解：原式=  ……………………2分

=…………2分

=