题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分13分）
在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．
（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；
（Ⅱ）现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为
，求随机变量的分布列和均值．
| 9 | 2 | 8 | 8 |
| 8 | 5 | 5 | |
| 7 | 4 | 4 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.
在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：（1）产品的“性价比”=
；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
（本小题满分13分）
在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．
（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；
（Ⅱ）现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为
，求随机变量的分布列和均值．
| 9 | 2 | 8 | 8 |
| 8 | 5 | 5 | |
| 7 | 4 | 4 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数
的分布列与期望
（本小题满分13分）
在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．
（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；
（Ⅱ）现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为
，求随机变量的分布列和均值．
| 9 | 2 | 8 | 8 |
| 8 | 5 | 5 | |
| 7 | 4 | 4 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分。）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
C
B
D
C
A
B
C
B
D
B
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11. 
12. 
13.
14. 
15. [-1,1] 
三、解答题：（本大题共6小题，共75分。）
16.解：（I）∵u∥v，∴即
------（2分）
又
---------（5分）
（II）由（I）知
------------------------（7分）
------------------------------------------------（10分）
又
∴当A－
=0，即A= 时，
的最大值为
--------------（12分）
17. 解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝
，从而甲命中但乙未命中目标的概率为
------------------------（5分）
（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。依题意有
由独立性知两人命中次数相等的概率为
18. 解法一：（1）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A
∵BC⊥平面ACC
∴BM⊥A
平面A
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
,
即二面角B―A1D―A的大小为
------------------------（6分）
（2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点，证明如下：
∵A1B
∵由（1）BC⊥平面A
∵EF在平面A
同理可证EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD------------------------（11分）
∵E为定点，平面A1BD为定平面,点F唯一------------------------（12分）
解法二：（1）∵A1B
C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）
C1（0，0，2） B1（2，0，2） A1（0，2，2）
D（0，0，1） E（1，0，2） ------------------------（2分）
设平面A1BD的法向量为
平面ACC
=（1，0，0）
------------------------（4分）
即二面角B―A1D―A的大小为
------------------------（6分）
（2）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由（2）知，当且仅当
//
---------------（9分）
∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点------------（12分）
19．解：（1）
，
-----------------（2分）
因为函数
在
处的切线斜率为-3，
所以
，即
，------------------------（3分）
又
得
。------------------------（4分）
函数在
时有极值，所以
，-------（5分）
解得
，------------------------------------------（7分）
所以
．------------------------------------（8分）
（2）因为函数在区间
上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零，------------------------------------（10分）
则
得
，
所以实数
的取值范围为
．----------------------------------（13分）
20.解： (1)由
知，数列{
}为等差数列，设其公差为d,则d=
,
故
.------------------------（4分）
(2)由
≥0,解得n≤5.故
当n≤5时，
=|
|+|
|+…+||=++…+=
;---------------（6分）
当n>5时，=||+||+…+||=++…+
-…-=
.--（8分）
(3)由于
=
,
所以
,------（10分）
从而
>0. ----------------------（11分）
故数列
是单调递增的数列，又因
是数列中的最小项，要使
恒成立，则只需
成立即可，由此解得m<8,由于m∈Z,
故适合条件的m的最大值为7. ------------------------（13分）
21. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为
（
，
），
则
，
，∴
．------------------------（2分）
又
在双曲线上，∴
．
联立①②③，解得
，
．∴双曲线方程为
．--------（5分）
注：对点M用第二定义，得
，可简化计算．
（Ⅱ）
，设
，
，m：
，则
由
，得
，
．--------------------（7分）
由
，得
．
∴
，
．
．
由，
，，---------------------（9分）
消去
，
，
得
．------------------------（10分）
∵
，函数
在
上单调递增，
∴
，∴
．------------------------（11分）
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