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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．A    2．A    3．B    4．A    5．C    6．D    7．D    8．B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．x＝－1   10．40   11．4   12．2，   13．    14．－1＜m＜1

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：f（x）＝cos²x－sin²x＋2sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1

＝2sin＋1. ……………………………………………4分

因此f（x）的最小正周期为，由＋2k≤2 x＋≤＋2 k，k∈Z得

＋k≤x≤＋k，k∈Z．

故f（x）的单调递减区间为， k∈Z．……………8分

（Ⅱ）当x∈时，2x＋∈，

        则f（x）的最大值为3，最小值为0．………………………………………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为

P＝×××＝． ………………………………………………6分

（Ⅱ）依题意，该考生得分的集合是{20，25，30，35，40}，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，所求概率为

P₁＝×××＝；

同样可求得得分为25分的概率为

P₂＝××××＋×××＋×××＝；

得分为30分的概率为P₃＝；

得分为35分的概率为P₄＝；

得分为40分的概率为P₅＝．……………………………………………12分

所以得分为25分或30分的可能性最大． …………………………………13分

17．（本小题满分14分）

    解法一：

（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CC₁底面

ABC，BC₁在底面上的射影为CB．

由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．

所以ACBC₁． ……………………………4分

（Ⅱ）设BC₁与CB₁交于点O，

则O为BC₁中点．连结OD．

在△ABC₁中，D，O分别为AB，

BC₁的中点，故OD为△ABC₁的中位线，

∴OD∥AC₁，又AC₁中平面CDB₁，

OD平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁． ………………………9分

（Ⅲ）过C作CEAB于E，连结C₁E．

由CC₁底面ABC可得C₁EAB．

故∠CEC₁为二面角C₁－AB－C的平面角．

在△ABC中，CE＝，

在Rt△CC₁E中，tan C₁EC＝＝，

∴二面角C₁－AB－C的大小为arctan．………………………………… 9分

解法二：

∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AC，BC，CC₁两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）．

（Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），

∴?＝0，故AC BC₁. …………………………………………4分

（Ⅱ）同解法一   …………………………………………………………………9分

（Ⅲ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），

设平面C₁AB的一个法向量为n＝（x₀，y₀，z₀），

＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．

由得令x₀＝4，则z₀＝3，y₀＝3．

则n＝（4，3，3）．故cos＞m，n＞＝＝．

所求二面角的大小为arccos.  ……………………………………14分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝?x（x?1）²＝?x³＋2x³－x，得f（2）＝－2由

f′（x）＝?3x³＋4x?1，得f′（2）²＝?5.  ……………………4分

所以，曲线y＝?x（x?1）²在点（2，?2）处的切线方程是y＋2＝?5（x?2），整理得5x＋y?8＝0. …………………………………………6分

（Ⅱ）f（x）＝?x（x?m）²＝?x³＋2mx²?m²x，

f ′（x）＝?3 x ²＋4m x?m²＝?（3 x?m）（x?m），

令f ′（x）＝0解得x＝或x＝m.  ……………………………………10分

由于m＜0，当x变化时，f ′（x）的取值情况如下表：

x

（－∞，m）

m

  f ′（x）

―

0

＋

0

―

因此函数f（x）的单调增区间是，且函数f（x）在x＝m处取得     极小值f（m）＝0. ………………………………………………………13分

19.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由椭圆定义知2a＝4，故a＝2．即椭圆方程为＋＝1,将（1，1）代入得

b²＝．故椭圆方程为＋＝1．…………………………………4分

因此c²＝4－＝，离心率e＝． ………………………………6分

（Ⅱ）设C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），由题意知，AC的倾斜角不为90°，

故设AC的方程为y＝k（x－1）＋1，联立

消去y得（1＋3k²）x ²－6k（k－1）x＋3k²－6k－1＝0

……………………………………………………………………………8分

由点A（1，1）在椭圆上，可知x_C＝．

因为直线AC，AD的倾斜角互补，

故AD的方程为y＝－k（x－1）＋1，同理可得x_D ＝．

所以x_C－x_D＝．

又y_C＝k （x_C－1）＋1，y_D＝－k  （x_D－1）＋1，y_C－y_D＝k （x_C＋x_D）－2k＝，

所以k_CD＝＝，即直线CD的斜率为定值．……………13分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为数列{b_n}是等差数列，故设公差为d，

则b_n＋1－b_n＝d对n∈N^*恒成立．依题意b_n＝a_n，a_n＝．

由a_n＞0，

所以＝＝是定值，从而数列{a_n}是等比数列.…5分

（Ⅱ）当n＝1时，a₁＝S₁＝，当n≥2时，a_n＝S_n－S_n-1＝，当n＝1时也适合此式，即数列{a_n}的通项公式是a_n ．……………………… 7分

由b_n＝a_n，数列{b_n}的通项公式是b_n＝n．…………………………8分

所以P_n，P_n＋1，过这两点的直线方程是y－n＝－2^n＋1，该直线与坐标轴的交点是A_n和B_n（0，n＋2）．

c_n＝×＝．……………………………………11分

因为c_n－c_n＋1＝－＝＝＞0．

即数列{c_n}的各项依次单调递减，所以要使c_n≤t对n∈N^*恒成立，只要c₁≤t，又c₁＝，可得t的取值范围是．  …………………13分

故实数t的取值范围是． …………………………………14分