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有下列三角形数阵：记三角形数阵构成的数列为{a_n}，且a₁=

1

1

，a₂=

2

1

，a₃=

1

2

，a₄=

3

1

，a₅=

2

2

，…，据此推测a₂₀₁₀等于

7

57

7

57

．

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一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

题号

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

答案

B

A

C

B

D

B

C

A

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.第一个空3分，第二个空2分)

(9)±3(丢一个不给分)    (10)10    (11)   

(12)9，30    (13)34    (14)(－2，2)，(－∞，3]

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

(15)(本小题满分12分)

   解：(Ⅰ)由＜0.

得－2＜x＜2.

    　 ∴A＝{x|－2＜x＜2}.……………………………………………………………3分

    由|x－2|＜1.

       得1＜x＜3.

       ∴B={x|l＜x＜3}.…………………………………………………………………6分

       (Ⅱ)∵A＝{x|－2＜x＜2}，U＝R，

          ∴_UA＝{x|x≤－2或x≥2}.……………………………………………………9分

          ∴(_U A)∩B＝{x|2≤x＜3}.……………………………………………………12分

(16)(本小题满分13分)

   解：(Ⅰ)由f (x)＝x³+ax²+2得

   f ′ (x)=3x²+2ax.………………………………………………………………………………3分

   ∵f ′ (x)图象关于直线x=l对称，

   ∴－＝1.

   ∴a＝－3.……………………………………………………………………………………6分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x)＝x³－3x²+2，f ′ (x)＝3x²－6x.

      令f ′ (x)＝0得x₁＝0，x₂＝2.……………………………………………………………8分

   当x在[－1，2]上变化时，f ′ (x)，f (x)的变化情况如下表

x

－1

(－1，0)

0

(０，2)

2

f ′ (x)

＋

0

－

0

f (x)

－2

ㄊ

2

ㄋ

－2

……………………………………………………………………………………………12分

   由上表可知，当x＝－1或2时，函数有最小值－2，当x=0时，函数有最大值2.

   ……………………………………………………………………………………………13分

(17)(本小题满分14分)

   解：(Ⅰ)设任取一件作品颜色为绿色的事件为A. ………………………………………1分

   P(A)＝.………………………………………………………………………………… 4分

   答：任取一件作品颜色为绿色的概率为.

   (Ⅱ)设任取一件作品颜色为红色的事件为B ……………………………………………5分

   P(B)=1－………………………………………………………………………… 7分

   ＝l－＝.……………………………………………………………………………… 8分

   答：任取一件作品颜色为红色的概率为.

   (Ⅲ)设任取一件作品记下颜色后放回，连续取三次至少有两件作品为红色的

   事件为C.……………………………………………………………………………………9分

   P(C)＝()²()+()³()⁰………………………………13分(其中两个算式各2分)

       ＝.…………………………………………………………………………………14分

  答：任取一件作品记下颜色后放回，连续取三次至少有两件作品为红色的概率为.

(18)(本小题满分13分)

   解：(Ⅰ)∵a₁=－1，且a_n=3a_n－l－2n+3，(n=2，3，…)

   　　　 ∴a₂=3a_l－4+3=－4，…………………………………………………………… 2分

          a₃=3a₂－6+3=－15…………………………………………………………………4分

  当n≥2时，有

   a_n－n=3a_n－1－2n+3－n＝3(a_n－1－n＋1) …………………………………………6分

   且a₁－1=－2≠0，…………………………………………………………………7分

   所以数列{a_n－n}(n＝1，2，…)是一个以－2为首项，3为公比的等比数列……

          ……………………………………………………………………………………8分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)可得a_n－n＝－2?3^n－１，

　 　 ∴a_n＝n－2?3^n－1……………………………………………………………………9分

         ∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＝(1－2×1)＋(2－2×3)＋(3－2×3²)＋…＋(n－2×3^n－1)

         ＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2×1+2×3+2×3²+…+2×3^n－1) ………………………11分

         ＝.……………………………………………13分

(19)(本小题满分14分)

   解：(Ⅰ)∵曲线y=f (x)在点(0，f (0))处的切线与x轴平行，

      ∴f (0)＝0. ………………………………………………………………………………2分

      又f ′ (x)=3x²+2bx+c，则f ′ (0)＝c＝0.…………………………………………………4分

   (Ⅱ)由c＝0，方程f (x)－b²x＝0可化为x³+bx²－b²x+5＝0，

      假设存在实数b使得此方程恰有一个实数根，

      令g (x)＝x³+bx²－b²x＋5，则g (x)_极大值＜0或g (x)_极小值＞0.

      ∴g′ (x)=3x²+2bx－b²＝(3x－b)(x＋b).

      令g′ (x)＝0，得x₁＝，x₂＝－b.……………………………………………………5分

  ①若b＝0，则方程f (x)－b²x＝0可化为x³＋5＝0，此方程恰有一个实根

      x＝－.………………………………………………………………………………6分

   ②若b＞0，则＞－b，列表：

x

(?∞，?b)

－b

(－b，)

(，＋∞)

g′ (x)

＋

０

－

０

＋

g (x)

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

    ∴g (x)_极大值＝g(－b)＝b³+5＞0，g (x)_极小值＝g ()＝－＋5.

    ∴－＋5＞0，解之得0＜b＜3. ……………………………………………………9分

　　③若b＜0，则＜－b，列表：

x

(?∞，)

(，－b)

－b

(－b，＋∞)

g′ (x)

＋

０

－

０

＋

g (x)

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

   ∴g (x)_极大值＝g ()＝－＋5＞0，g (x)_极小值＝g(－b)＝b³+5.

   ∴b³+5＞0，解之得b＞－.

   ∴－＜b＜0. …………………………………………………………………………12分

   综合①②③可得，实数b的取疽范围是(－，3).…………………………………14分

(20)(本小题满分14分)

   解：(Ⅰ)f (x)＝x²是其定义域上的T函数，………………………………………………2分

       证明如下：

       对任意实数x₁，x₂(x₁≠x₂)，

       有f (x₁＋x₂)－f (x₁)－f(x₂)

   ＝(x₁＋x₂)²－－

       ＝－(x₁－x₂)²＜0.

  即f (x₁＋x₂)＜f (x₁)＋f (x₂).

   ∴f(x)＝x²是其定义域上的T函数.……………………………………………………4分

   (Ⅱ)假设f (x)是R上的T函数，取x₁＝1，x₂＝－1，

       则有f (×1+×(－1))＜f (1)＋f (－1).

   ∵f (x)是奇函数，

   ∴f (－1)＝－f (1)，f (?)＝－f().

       ∴f()＞f (1).(#)

   同理，取x₁＝－1，x₂＝1，可证f ()＜f (1).

   与(#)式矛盾.

   ∴f (x)不是R上的T函数.……………………………………………………………9分

   (Ⅲ)对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α＝∈[0，1].

       ∵f (x)是R上的C函数，a_n＝f (n)，且a₀=0，a_m=2m，

   ∴a_n=f (n)=f (αx₁+(1－α)x₂)≤αf (x₁)+(1－α)f (x₂)=×2m=2n.

   那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤(2×(1+2+…+m)=m²+m.

   可证f (x)＝2x是C函数，且使得a_n＝2n (n＝0，l，2，…，m)都成立，

   此时S_f=m²+m.

   综上所述，S_f的最大值为m²+m.………………………………………………………14分

说明：其他正确解法按相应步骤给分.