在正方形中，，点是（端点除外）上一个动点，以为边作正方形，连接。   

（1）的面积是否变化？若不变化，请求出其面积；若变化，请说明理由。

（2）探究：与的关系。

（3）点在何处时四边形的面积最小？最小值是多少？

将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M，连接BF与EG交于点P．
（1）当点F与AD的中点重合时（如图1）：
①△AEF的边AE=______cm，EF=______cm，线段EG与BF的大小关系是EG______BF；
（填“＞”、“=”或“＜”）
②求△FDM的周长．
（2）当点F在AD边上除点A、D外的任意位置时（如图2）：
③试问第（1）题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；
④当点F在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？