如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点E，连结EB、ED，∠CBD=∠E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E=30°，BC=

4 3

3

，求阴影部分的面积．（计算结果精确到0.1）（参考数值：π≈3.14，

2

≈1.41，

3

≈1.73）

（2013•德州一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．

31、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

如图1，在△ABC中，点D为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、D在直线a的异侧，BE⊥直线a于点E，CF⊥直线a于点F，连接DE、DF．

（1）延长ED交CF于点G（如图2）．①求证：△BDE≌△CDG；②DE=DF；
（2）若直线a绕点A旋转到（图3）的位置时，点B、D在直线a的同侧，其它条件不变，此时DE=DF成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．