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    (Ⅲ)设.证明: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分13分）随着石油资源的日益紧缺，我国决定建立自己的石油储备基地，

    已知某石油储备基地原储有石油吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量均为上一年底储油量的25%，且每年年内用出吨，设为正式运营后第年年底的石油储量．（Ⅰ）求、、；                                   （Ⅱ）猜测出的表达式并用数学归纳法予以证明；（Ⅲ）为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于吨，如果吨，该油库能否长期按计划运营？如果能，请加以证明；如果不能，请说明理由．（计算中可供参考的数据：，）

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    （本小题满分13分）
    设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”.
    (1)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
    (2)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；
    (3)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，．

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    （本小题满分13分）
    设是数列（）的前项和，，且，，．
    （I）证明：数列（）是常数数列；
    （II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．

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    （本小题满分13分）
    已知，在水平平面上有一长方体绕旋转得到如图所示的几何体．

    (Ⅰ)证明：平面平面；
    （Ⅱ）当时，直线与平面所成的角的正弦值为，求的长度；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面与平面所成的角为，长方体的最高点离平面的距离为，请直接写出的一个表达式，并注明定义域．

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    （本小题满分13分）已知函数（其中且为常数）的图像经过点A、B．是函数图像上的点，是正半轴上的点．

    (1) 求的解析式；

    (2) 设为坐标原点，是一系列正三角形，记它们的边长是，求数列的通项公式；

    (3) 在(2)的条件下，数列满足，记的前项和为，证明：。

     

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    一.   选择题

    1A    2D   3B   4D    5C    6A    7B    8C    9B    10A    11D    12C

    二.   13:         14:  1        15:          16:

     

    （1）．复数    （    ）

    A．2            B．－2   C．         D．

     解：，选A。

    （2）．集合，则下列结论正确的是（   ）

    A．               B．

    C．                        D．

    解：  ，，又

    ∴ ，选D。

    （3）．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（    ）

    A． （－2，－4）       B．（－3，－5）   C．（3，5）          D．（2，4）

    解：因为，选B。

    （4）．已知是因为，选B。。

    两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（    ）

    A．                 B．  

    C．            D．

    解：  均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故A不正确；

    m，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D。

    （5）．将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（    ）

    A．                    B．         C．          D．

    解：设平移向量，则函数按向量平移后的表达式为

    ，因为图象关于点中心对称，

    故代入得： ，，

    k=0得：，选C。本题也可以从选择支出发，逐个排除也可。

    （6）．设则中奇数的个数为（    ）

    A．2                   B．3              C．4                     D．5

    解：由题知，逐个验证知，其它为偶数，选A。

    （7）．是方程至少有一个负数根的（    ）

    A．必要不充分条件                   B．充分不必要条件

    C．充分必要条件                     D．既不充分也不必要条件

    解：当，得a<1时方程有根。a<0时，，方程有负根，又a=1时，方程根为，所以选B

    （8）．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A．   B．     C．          D．

    解：设直线方程为，即，直线与曲线有公共点，

    圆心到直线的距离小于等于半径 ，

    得，选择C

    另外，数形结合画出图形也可以判断C正确。

    （9）．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（    ）

      A．                 B．                    C．                   D．

    解：由题知则，选D。

    （10）．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（    ）

    A．    

    B．

    C．

    D．

    解：根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A。

    （11）．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（    ）

    A．                   B．

    C．                   D．

    解： 用代换x得： ，

    解得：，而单调递增且大于等于0，，选D。

    （12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(      )

    A．                B．                        C．                    D．

    解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C。

    （13）．函数的定义域为          ．

    解：由题知：；解得：x≥3.

    （14）在数列在中，，，,其中为常数，则的值是       

    解：  ∵∴从而。

    ∴a=2，，则

    （15）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为             

     

    解：如图知是斜边为3 的等腰直角三角形，是直角边为1等腰直角三角形，区域的面积

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    （16）已知在同一个球面上,若

    ,则两点间的球面距离是             

    解：  如图，易得，，，则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CD（CD的对边与CD等长），从而球外接圆的直径为，R=4则BC与球心构成的大圆如图，因为△OBC为正三角形，则B，C两点间的球面距离是。

     

     

     

     

     

     

    三.   解答题

    17解：（1）

                       

                       

                       

                       

                  

    由

    函数图象的对称轴方程为

    （2）

    因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

    所以   当时，去最大值 1

    又  ，当时，取最小值

    所以 函数 在区间上的值域为

     

     

     

     

     

    18 方法一（综合法）

      （1）取OB中点E，连接ME，NE

    又

               

      （2）

           为异面直线与所成的角（或其补角）

                      作连接

                     

                     

                    ，

                    所以 与所成角的大小为

             （3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

     于点Q，

                  又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

                    ，

                    ，所以点B到平面OCD的距离为

    方法二(向量法)

    作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

    ,

    (1)

    设平面OCD的法向量为,则

    即

    取,解得

    (2)设与所成的角为,

       , 与所成角的大小为

    (3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,

           由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

     

     

    19  (1)由得,从而

    的分布列为

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    (2)记”需要补种沙柳”为事件A,   则

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