题目列表(包括答案和解析)
（本题满分12分）
设函数f(x)=x3+ax2-3x+b(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值，且|x1-x2|=2（1）求a的值及函数f(x)的单调区间； （2）若存在x0∈(x1,x2)，使得f(x0)=0，求b的取值范围
（本题满分12分）设函数f (x) =
(b，c∈N*)，若方程f(x) = x的解为0，2，且f (–2)＜–
．（Ⅰ）试求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn·f (
) = 1，其中Sn为{an}的前n项和．求证：
．
.（本题满分12分）设函数
为奇函数，导函数
的最小值为-12，函数
的图象在点P
处的切线与直线
垂直.(1)求a，b，c的值；(2)求
的各个单调区间，并求在
[-1, 3]时的最大值和最小值.
（本题满分12分） 设函数f(x)=x2-6x+4lnx（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若存在实数a，使方程f(x)=a恒有三个不等实根，求a的取值范围
（本题满分12分）设函数
（1） 求函数
；??（2） 若存在常数k和b,使得函数
对其定义域内的任意实数
分别满足
则称直线
的“隔离直线”．试问:函数
是否存在“隔离直线”?若存在,求出“隔离直线”方程,不存在,请说明理由．
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
C
D
D
D
A
B
A
A
二.填空题
13.4； 14. 
； 15.15； 16.
,
可以填写任一实数.
三.解答题
17. （Ⅰ）列表：
2
6
10
14
0
1
3
1
1
描点作图，得图象如下.
6分
（Ⅱ）
所以,当
,即
时,函数
取得最小值
. 12分
18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．
（I）该班学生参加活动的人均次数为
=
． 6分
（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
．
12分
19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′
面D′EC，∴BE⊥CD′.
6分
（Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC
垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC
∵平面D′EC⊥平面BEC，
∴D′M⊥平面EBC，
∴MF是D′F在平面BEC上的射影，
由三垂线定理得：D′F⊥BC
∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.
在Rt△D′MF中，
∴
，
即二面角D′―BC―E的正切值为
.
12分
法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，
则
设平面BEC的法向量为
；平面D′BC的法向量为
由
取
∴
∴二面角D′―BC―E的正切值为.
12分
20．（I）
，
（II）
由（I）知
21（Ⅰ）设椭圆C的方程为
，则由题意知b = 1.
∴椭圆C的方程为
…………………………………………………6分
（Ⅱ）易知直线
的斜率为
，从而直线
的斜率为1.设直线的方程为
，代如椭圆的方程，并整理可得
.设
，则
，
.于是
解之得
或
.
当时，点
即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意.
所以，当且仅当直线的方程为
时, 点
是
的垂心. 12分
22.(Ⅰ)对一切
有
于是, 
(
) 5分
(Ⅱ)由
及
两式相减,得: 
∴
. 10分
(Ⅲ) 由于
，
所以，
14分
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