2．向量的运算

(1)向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设，则+==。

规定：

(1)；

(2)向量加法满足交换律与结合律；

向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。

(2)向量的减法

①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。

记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：　 (i)=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。

②向量减法

向量加上的相反向量叫做与的差，

记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)。

(3)实数与向量的积

①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

(Ⅰ)；

(Ⅱ)当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

1．向量的概念

①向量

既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。向量的大小即向量的模(长度)，记作||即向量的大小，记作｜|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量

长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别)

③单位向量

模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。

④平行向量(共线向量)

方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

⑤相等向量

长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。

本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。

预测07年高考：

(1)题型可能为1道选择题或1道填空题；

(2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

(1)平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

(2)向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

(3)平面向量的基本定理及坐标表示

①了解平面向量的基本定理及其意义；

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

5．变为主线、抓好训练

变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。

针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目。

4．加强三角函数应用意识的训练

1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法。

3．解答三角高考题的策略。

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

2．证明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

(2)证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否。

1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：

(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；

(2)善于拆角、拼角

如，等；

(3)注意倍角的相对性

(4)要时时注意角的范围

(5)化简要求

熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。

题型1：两角和与差的三角函数

例1．已知，求cos。

分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。

解法一：由已知sin+sin=1…………①，

cos+cos=0…………②，

①²+②²得 2+2cos；

∴ cos。

①²－②²得　 cos2+cos2+2cos()=－1，

即2cos()()=－1。

∴。

解法二：由①得…………③

由②得…………④

④÷③得

点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。

例2．已知求。

分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。

解法一：由韦达定理得tan，

所以tan

解法二：由韦达定理得tan，

所以tan

，

。

点评：(1)本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。(2)运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。(3)对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如

题型2：二倍角公式

例3．化简下列各式：

(1)，

(2)。

　 分析：(1)若注意到化简式是开平方根和2以及其范围不难找到解题的突破口；(2)由于分子是一个平方差，分母中的角，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。

解析：(1)因为，

又因，

所以，原式=。

(2)原式=

　　 =。

点评：(1)在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换。(2)化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。(3)公式变形，。

例4．若。

分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。

解法一：由，

　

解法二：，

点评：此题若将的左边展开成再求cosx，sinx的值，就很繁琐，把，并注意角的变换2·运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，

如，

，

等。

题型3：辅助角公式

例5．已知正实数a,b满足。

分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。

解法一：由题设得

　

解法二：

解法三：

点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，，或

在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。

例6．(2000全国理，17)已知函数y＝cos²x+sinxcosx+1，x∈R.

(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

(2)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

(理)(1)解析：y＝cos²x+sinxcosx+1

＝(2cos²x－1)++(2sinxcosx)+1

＝cos2x+sin2x+

＝(cos2x·sin+sin2x·cos)+

＝sin(2x+)+

y取得最大值必须且只需2x+＝+2kπ，k∈Z，

即x＝+kπ，k∈Z。

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x＝+kπ，k∈Z}。

(2)将函数y＝sinx依次进行如下变换：

①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin(x+)的图象；

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数

y＝sin(2x+)的图象；

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到函数

y＝sin(2x+)的图象；

④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y＝sin(2x+)+的图象；

综上得到函数y＝cos²x+sinxcosx+1的图象。

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。

(2000全国文，17)已知函数y＝sinx+cosx，x∈R.

(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

(2)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

解析：(1)y＝sinx+cosx＝2(sinxcos+cosxsin)＝2sin(x+)，x∈R

y取得最大值必须且只需x+＝+2kπ，k∈Z，

即x＝+2kπ，k∈Z。

所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x＝+2kπ，k∈Z}

(2)变换的步骤是：

①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin(x+)的图象；

②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数

y＝2sin(x+)的图象；

经过这样的变换就得到函数y＝sinx+cosx的图象。

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。

题型4：三角函数式化简

例7．(1995全国理，22)求sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°的值。

解析：原式＝(1－cos40°)+(1+cos100°)+(sin70°－sin30°)

＝1+(cos100°－cos40°)+sin70°－

＝－sin70°sin30°+sin70°

＝－sin70°+sin70°＝。

点评：本题考查三角恒等式和运算能力。

例8．(06北京理，15)已知函数.

(Ⅰ)求的定义域；

(Ⅱ)设的第四象限的角，且，求的值。

解析：(Ⅰ)由 得，

故在定义域为 (Ⅱ)因为，且是第四象限的角,

　 所以

 故

　　　　　 　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　 。

题型5：三角函数求值

例9．(06重庆理，17)设函数f(x)=cos²cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值。

解析：(I)

依题意得 ．

(II)由(I)知，。

又当时，，故，从而在区间上的最小值为，故

例10．(06上海理，17)求函数＝2+的值域和最小正周期。

解析：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，

∴函数y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。

题型6：三角函数综合问题

例11．已知向量

　　　 (I)若求　　 (II)求的最大值。

解析：(1)_；

当=1时有最大值,此时_，最大值为_。

点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为0；2，特殊角的三角函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。

例12．(2001天津理，22)设0<θ<，曲线x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ－y²sinθ=1有4个不同的交点。

(1)求θ的取值范围；

(2)证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

解析：(1)解方程组，得；

故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为，(0<θ<)0<θ<。

(2)设四个交点的坐标为(x_i，y_i)(i=1，2，3，4)，则：x_i²+y_i²=2cosθ∈(，2)(i=1，2，3，4)。

故四个交点共圆，并且这个圆的半径r=cosθ∈().

点评：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查。

题型7：三角函数的应用

例13．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．

分析：本题入手要解决好两个问题，

(1)内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理；

(2)求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。

解析：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ，

，

。

又设矩形EFGH的面积为S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，

如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°

设矩形的面积为S．

那么S＝EFFG＝4R²sinθsin(30°-θ)

＝2R²［cos(2θ－30°)－cos30°]

又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ－30°)＝1

。