Question

如图，ABCD是长边为6的正方形，ADGH是一个梯形，点E、F分别是AD、GH的中点，HF=6，EF=4，EF⊥GH．联结HE并延长交CD于点I，作IJ⊥HA，则IJ=

 

．

Answer 1

考点：三角形的周长和面积,长方形、正方形的面积,梯形的面积

专题：平面图形的认识与计算

分析：如下图所示作辅助线，过点E作EN⊥HJ于点N，延长BA，交EH于点O，交HG于点M，则AM⊥HF，AM⊥AD，因此AM=EF=4；由点E、F分别是AD、GH的中点，可知AE=HM=3，又HM∥AE，所以四边形AEMH是平行四边形，则OA=

1

2

AM=

1

2

×4=2，由△OAE≌△IDE，可得DI=AO=2；在RT△AMH中，由勾股定理可得AH=5；同理可得HE=2

13

，EI=

13

，于是可以求得HI=HE+EI=3

13

；由S_△HAE=

1

2

AE?EF=

1

2

AH×EN，可以求得EN的长；由∠ENJ=∠J=90°，∠NHE=∠JHI，可得△HNE∽△HJI，由相似三角形的对应边成比例即可求得IJ的长．

解答： 解：如图作辅助线，由分析可知，
AM⊥HF，AM⊥AD，则AM=EF=4；
因为点E、F分别是AD、GH的中点，
所以AE=HM=3，
又HM∥AE，
所以四边形AEMH是平行四边形，
所以OA=

1

2

AM=

1

2

×4=2．
因为AE=DE，∠AEO=∠DEI，∠OAE=∠IDE=90°，
所以△OAE≌△IDE，
所以DI=AO=2；
在RT△AMH中，由勾股定理可得AH=

32+42

=5，
同理可得：HE=2

13

，EI=

13

，
所以HI=HE+EI=3

13

；
由S_△HAE=

1

2

AE?EF=

1

2

AH×EN可得：

1

2

×3×4=

1

2

×5×EN，
解之得，EN=2.4；
因为∠ENJ=∠J=90°，∠NHE=∠JHI，
所以△HNE∽△HJI，
所以

HE

HI

=

EN

IJ

，
所以

2 3

3 3

=

2.4

IJ

，
解得IJ=3.6．
故答案为：3.6．

点评：本题较难，辅助线很关键；用到平行四边形的判定以及性质，三角形的全等及相似，勾股定理等知识．