Question

如图，把正方形ACFG与Rt△ACB按如图①所示重叠在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，得△A′B′C，AB分别与A′C、A′B′相交于点D、E，如图②所示
（1）△ABC至少旋转多少度才能得到△A'B'C？说明理由；
（2）求△ABC与△A′B′C重叠部分（即四边形CDEF）的面积．

Answer 1

分析：（1）根据题意，结合旋转的性质：可得△A′CF是等边三角形，进而可得∠ACA′=90°-60°=30°，故至少应旋转30°；
（2）根据题意分别求得△A′DE的面积与△ABC的面积；观察图形分析可得四边形DCFE的面积为：S_△A’CF-S_△A′DE，代入数据可得答案．

解答：解：（1）因为ACFG是正方形，A'B′经过点F，
所以A′C=CF．
又因为∠A′=60°，
所以△A′CF是等边三角形．
因为∠A′CF=60°，
所以∠ACA′=90°-60°=30°．
所以△ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′．

（2）因为∠ACA′=30°，∠BAC=60°，
所以∠A′DE=90°．
又因为AC=2，
可求得CD=

3

，A′D=2-

3

．
在Rt△A′DE中，
DE=A′Dtan60°=（2-

3

）?

3

=2

3

-3．
所以△A′DE的面积为：

1

2

A′D?DE=（2-

3

）?（2

3

-3）=

7

2

3

-6．
又因为A'B′=4，A′F=2，
所以F是A'B′的中点．
所以△A′CF的面积=

1

2

△ABC的面积．
而B′C=A′C?tan60°=2

3

，
S_△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，S_△A’CF=

3

，
所以四边形CDEF的面积为：

3

-（

7

2

3

-6）=

3

-

7

2

3

+6=6-

5

2

3

；
（若取近似值，则结果应约为1.7．）．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．