Question

14．如图，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A、B、C、D，直线m通过A、B，直线n通过C、D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5（S-1），直线m、n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积是S₁、S₂、S₃满足关系式S₃=S₂=S₁，求S．

Answer 1

分析 观察图形可以得到四个圆之间的位置关系，根据重叠部分的面积可以列出一个方程，然后与题目中S₁，S₂，S₃的关系联立方程组，解方程组得到S的值．

解答 解：由题设可得：$\left\{\begin{array}{l}{5（S-1）=4S-{S}_{1}-{S}_{2}-{S}_{3}}\\{{S}_{1}={S}_{2}={S}_{3}}\end{array}\right.$

所以S₁=$\frac{5-S}{3}$  ①
又因为2S-$\frac{1}{2}$S₁-S₂-$\frac{1}{2}$S₃=8，
即：2S-2S₁=8  ②
把①代入②消去S₁得：
2S-2×$\frac{5-S}{3}$=8
  6S-10+2S=24
        8S=34
         S=$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查的是圆与圆的位置关系，根据题意结合图形列方程组，用代入消元法解方程组求出S的值．