Question

在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的99个数连同后面写下的数，纸上出现的所有数的总和是

25128

．

Answer 1

分析：我们把99个数都用完，叫做第一轮．第一轮共进行了33次操作．
余下的数列为：6，15，24，33，…，294．-----------（1）
这个数列（1）是以6为第一项，9为公差，共33项的等差数列．
现在我们在进行第二轮操作之前，
把数列（1）的最后三项写出来就是：276，285，294．其和为285×3=855．
余下的数列为：45，126，207，…，855．----（2）
这个数列（2）是以45为第一项，81为公差，共11项的等差数列．
把数列（2）的前三项之和（126×3=378）补充在（2）的最后一项855的后面，凑成三的倍数，12项．于是出现了下面的数列：
45，126，207，…774，，855，378．----------（3）
第三轮，数列（3）刚好可以划掉4组．所以在378的后面有且只有3个数．
在378的后面，就是（288+369+450）=1107，（531+612+693）=1836，774+855+378=2007；
进行最后一轮，可以知道是1107+1836+2007=4950，，就是最后划掉三个数剩下的唯一一个数．
然后把所有的数列的和加起来，就是所有数的总和．

解答：解：根据分析可知原来的数列的和是（1+99）×99÷2=4950；
第一轮后的和是：（6+294）×33÷2=4950；
第二轮后的和是：（45+855）×11÷2+378=4950+378；
第三轮后的和是：1107+1836+2007=4950；
最后一轮只有一个数，就是4950；
那么所有的数的和就是：4950+4950+4950+378+4950+4950=4950×5+378=25128；
故填：25128．

点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．