Question

在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是

4950

．

Answer 1

分析：在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．前99的数划了33次，作为第一轮，得到了33个数，6，15，24，33，…，294．-----------（1）这个数列（1）是以6为第一项，9为公差，共33项的等差数列，这33个数的和也是第一轮99个数的和；继续划，11次后这33个数又划去了，得到
11个数，这个数列（2）是以45为第一项，81为公差，共11项的等差数列，作为第二轮，这11个数的和=第二轮这33个数的和=第一轮99个数的和；第三轮，是11÷3=3…2，这
11个数划3次得3个新数，先划余下的两个数774、855和第一个新数378，这3个新数的和与划余下的2个数的和=第三轮开始的11个数的和=第二轮这33个数的和=第一轮99个数的和；第四轮，与原来的2个和在一起5个数，5÷3=1…2，得一个新数，和第四轮余下的2个数的和=第四轮开始时的5个数的和=第三轮开始的11个数的和=第二轮这33个数的和=第一轮99个数的和；第五轮，上次得1个新数和余下的2个，正好3个，一次划完，得到一个数，不能再划，这个数=第五轮开始的5个数的和=第四轮开始时的5个数的和=第三轮开始的11个数的和=第二轮这33个数的和=第一轮99个数的和，最后的这一个数就是1+2+3+4…+99，利用高斯求和法可得解．
即：（1+2+3）+（4+5+6）+（7+8+9）+（10+11+12）+（13+14+15）+（16+17+18）+（19+20+21）+…+（91+92+93）+（94+95+96）+（97+98+99）
=（6+15+24）+（33+42+51）+（60+69+78）+（87+96+105）+（114+123+132）+（141+150+159）+（168+177+186）+（195+204+213）+（222+231+240）+（249+258+267）+（276+285+294）
=774+855+（45+126+207）+（288+369+450）+（531+612+693）
=1107+1836+（774+855+378）
=（1107+1836+2007）
=4950．

解答：解：1+2+3+4+…+99
=（1+100）×（100÷2）-100
=101×50-100
=5050-100
=4950
答：最后剩下的数是4950．
故答案为：4950．

点评：此题考查了数列中的规律．关键是发现最后只剩一个数，这个数就是1到99的和．