Question

四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？

Answer 1

考点：排列组合

专题：传统应用题专题

分析：设第n次传球后，球又回到红衣人手中的传球方法有a_n种，可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每一次都有3种可能，由乘法原理，共有3×3×3×…×3（n-1个3）=3^n-1种传球方法．这些传球方法并不都是符合要求的，它们可以分为两类：一类恰好第n-1次恰好传到红衣人手中，这有a_n-1种传法，它们不符合要求，因为这样第n次无法再把球传给红衣人；另一类是第n-1次传球，球不在红衣人手中，第n次持球人再将球传给红衣人，有a_n种传法；根据加法原理有a_n=a_n-1-a_n-2，由于红衣人是发球者，一次传球后又回到红衣人手中的传球方法是不存在的，所以a₁=0，利用递推a₂=3-0=3，a₃=3×3-3=6，a₄=3×3×3-6=21，a₅=3×3×3×3-21=60，a₆=3×3×3×3×3-60=183，a₇=3×3×3×3×3×3-183=546，a₈=3×3×3×3×3×3×3-546=1641．说明经过8次传球后球仍然回到红衣人手中，整个传球过程共有1641种不同的可能．

解答： 解：设第n次传球后，球又回到红衣人手中的传球方法有a_n种，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每一次都有3种可能，由乘法原理，共有3×3×3×…×3（n-1个3）=3^n-1种传球方法．第n-1次传球，球不在红衣人手中，第n次持球人再将球传给红衣人，有a_n种传法；根据加法原理有a_n=a_n-1-a_n-2，可得
a₁=0，递推a₂=3-0=3，
a₃=3×3-3=6，
a₄=3×3×3-6=21，
a₅=3×3×3×3-21=60，
a₆=3×3×3×3×3-60=183，
a₇=3×3×3×3×3×3-183=546，
a₈=3×3×3×3×3×3×3-546=1641．
答：经过8次传球后球仍然回到红衣人手中，整个传球过程共有1641种不同的可能．

点评：此题考查排列组合的实际运用，注意利用递推法解决问题．