Question

观察已知算式，寻找规律填空．
（1）1=1×2÷2
1+2=2×3÷2
1+2+3=3×4÷2
1+2+3+4=4×

5

÷2
1+2+3+4+5=

5

×

6

÷

2

1+2+3+4+5+6+7=

7

×

8÷2

1+2+3+…+n=

n

×

（n+1）÷2

（2）1×2=1×2×3÷3
1×2+2×3=2×3×4÷3
1×2+2×3+3×4=3×4×5÷

3

1×2+2×3+3×4+4×5=4×5×

6

÷

3

1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=

5

×

6

×

7÷3

1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

n

×

（n+1）

×

（n+2）

÷

3

（3）1×2×3=1×2×3×4÷4
1×2×3+2×3×4=2×3×4×5÷4
1×2×3+2×3×4+3×4×5=3×4×5×

6

÷4
1×2×3+2×3×4+3×4×5+4×5×6=

4

×

5

×

6

×

7

÷

4

1×2×3+2×3×4+3×4×5+4×5×6+5×6×7=

5

×

6

×

7

×

8

÷

4

1×2×3+2×3×4+…+n×（n+1）×（n+2）=

n

×

（n+1）

×

（n+2）

×

（n+3）

÷

4

猜一猜：
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6=

3×4×5×6×7÷5

．

Answer 1

分析：由（1）可得：连续几个自然数相加（从1开始加到n），等n×（n+1）÷2；
由（2）得：1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n×（n+1）×（n+2）÷3；
由（3）得：1×2×3+2×3×4+…+n×（n+1）×（n+2）=n×（n+1）×（n+2）×（n+3）÷4；
从而得出：1×2×3+2×3×4×5+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×（n+4）÷5；由此解答．

解答：解：（1）1+2+3+4=4×5÷2
1+2+3+4+5=5×6÷2
1+2+3+4+5+6+7=7×8÷2
1+2+3+…+n=n×（n+1）÷2；

（2）1×2+2×3+3×4=3×4×5÷3
1×2+2×3+3×4+4×5=4×5×6÷3
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=5×6×7÷3
1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n×（n+1）×（n+2）÷3；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5=3×4×5×6÷4
1×2×3+2×3×4+3×4×5+4×5×6=4×5×6×7÷4
1×2×3+2×3×4+3×4×5+4×5×6+5×6×7=5×6×7×8÷4
1×2×3+2×3×4+…+n×（n+1）×（n+2）=n×（n+1）×（n+2）×（n+3）；
所以：
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6=3×4×5×6×7÷5．
故答案为：5，5，6，2，7，8÷2，n，（n+1）÷2；3，6，3，5，6，7÷3，n，（n+1），（n+2），3；6，4，5，6，7，4，5，6，7，8，4，n，（n+1），（n+2），（n+3），4；3×4×5×6×7÷5．

点评：此题考查了式的规律，认真观察，不难得出结论．