Question

在1、2、3、4、…、2002、2003这2003个自然数中
（1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是l60的倍数？
（2）写出你所取的所有数．

Answer 1

考点：最大与最小

专题：传统应用题专题

分析：一个数除以160所得的余数可以是0～159之间．所选取的数中，任意其中的两个数的和有下列可能的情况：①这两个数都是160的倍数；②这两个数中有一个是160的倍数；③这两个数都不是160的倍数．然后进行推理论证，解决问题．

解答： 解：一个数除以160所得的余数可以是0～159之间．
所选取的数中，任意其中的两个数的和有下列可能的情况：
①这两个数都是160的倍数，此时，两个数分别除以160所得的余数为0，两个余数的和还是0，所以这两个数的和也是160的倍数．
②这两个数中有一个是160的倍数，即除以160所得余数是0；另一个数不是160的倍数，即另一个数除以160所得的余数为1～159之间，假设余数是s 那么这两个数的和除以160的余数一定为s，即这两个数的和不是160的倍数．
这种情况，只要我们选取的数中一部分是160的倍数，一部分不是160的倍数，则从这些数中任取两个数，一个是160的倍数，一个不是160的倍数，那么它们的和一定不是160的倍数．所以第②种情况不可能．
③这两个数都不是160的倍数．
假设一个数除以160所得余数为s，另一个数除以160所得余数为t，则这两个数的和除以160的余数为（s+t）或者（s+t-160）【检验很简单，第一个数可表示为160k+s （k为任意整数，s表示余数），另一个数可表示为160n+t  （n为任意整数，t表示余数），则这两个数的和为160（k+n）+s+t，这个数除以160所得余数即为s+t，如果s+t大于160，则余数为s+t-160，则和还是不能被160整除，即和不是160的倍数】
如果这两个数的和除以160所得余数s+t刚好等于160，那么这两个数的和也是16的倍数．
比如80和240都不是160的倍数，但80和240除以160所得的余数都是80（余数相等），两个余数的和80+80=160，刚好是160的倍数，那么80与240的和就是160的倍数．
80+240=320 
20÷160=2
那么80与240的和就是160的倍数．此时，两个余数s与t相，s=t
比如81与239都不是160的倍数，但81和239除以160所得的余数都分别是81与79（余数不相等），两个余数的和81+79=160，刚好是16的倍数，那么80与240的和就是160的倍数．
81+239=320 
320÷160=2
那么81与239的和就是160的倍数．此时，得到的两个余数s≠t
但如果是任意取两个数，使得两数之和是160的倍数：
假设先取的两个数除以160所得的余数是分别是s与t，且s与t的和s+t=160，保证了这两个数的和是160的倍数，那么能不能取第三个数呢？假设所取的第三个数除以160所得余是p，要保证第三个数和前面其中两个数中任意一个的和都要是160的倍数，即要保证p+s=160且p+t=160，得到方程组：
s+t=160
p+s=160   
p+t=160
解得：s=t=p=80，
实际上，要保证我们选出的所有数（还是第③中情况，所选的数不是160的倍数）中，任意两个数的和都要是16的倍数，则必须这些数除以160所得的余数都是80，因为每个数除以160的余数都是80，则其中任何两个余数相加都是160，就是说可以保证任取的两个数的和都是160的倍数．现在回到题目：从1，2.3，4…2002，2003，2004，这2004个自然数中，取出的数中任意两个数的和都是160的倍数中，
 如果是第一种情况，取出的所有数都是160的倍数．
则这些数是：160，320，480，640，800，960，1120，1280，1440，1600，1760，1920 共12个．（2004÷160=12多一点）
如果是第二种情况，则没有符合题意的数．
如果是第三种情况，取出的所有数除以160所得的余数都是80，也能保证任意两个数的和一定是160的倍数．
则这些数是：80，240，400，560，720，880，1040，1200，1360，1520，1680，1840，2000，共13个．
（这组数可在第一种情况的所有数的基础上加上80即可得，第一个数80是160的0倍加上80得到，以160的余数也是80）
第三种情况比第一种情况多1个．
综上：从1，2.3，4…2002，2003，2004这2004个自然数中，最多可取出13个数，使其中任意两个数的和都是160的倍数．

点评：此题解答起来比较困难，关键在于分类解答，运用了推理论证的方法，解决问题．