Question

11．如图，已知直线c和a、b分别交于A、B两点，点P在直线c上运动．
（1）若P点在AB两点之间运动，试探究：当∠1、∠2和∠3之间满足什么数量关系时，a∥b？
（2）若P点在AB两点外侧运动，试探究：当∠1、∠2和∠3之间满足什么数量关系时，a∥b？（写出结论，并说明理由）

Answer 1

分析 （1）过点P作直线a的平行线，要想a∥b，两直线平行，那么过点P的直线必须和直线b也平行，两直线平行，内错角相等可知∠1+∠3=∠2；
（2）分两种情况，点P在点A上方，点P在点B下方，证明方法同第一问．

解答 解：（1）如图：

∠1+∠3=∠2时，a∥b
过点P作直线a的平行线，把∠2分成∠4和∠5
所以：
∠1=∠4
∠2=∠4+∠5
又因为：
∠2=∠1+∠3
所以：
∠5=∠3
所以：
过点P平行a的直线也平行于直线b
所以：
a∥b
（2）①当点P在点B的下方时，如图：
∠1=∠2+∠3时，a∥b


过点P作直线a的平行线e
所以：
∠1=∠2+∠4
因为：
∠1=∠2+∠3
所以：
∠3=∠4
所以：
b∥e
所以：
a∥b
如图：∠②当点P在点A的上方时，如图：
∠3=∠1+∠2时，a∥b

证明方法同上．
所以：∠3=∠1+∠2时，a∥b．

点评 此题考查平行线的判定和性质，关键是掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．