Question

16．计算：
（1）$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$+$\frac{15}{16}$+$\frac{31}{32}$+$\frac{63}{64}$$+\frac{127}{128}$+$\frac{255}{256}$
（2）$\frac{（{2}^{2}+{4}^{2}+{6}^{2}+…+10{0}^{2}）-（{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+9{9}^{2}）}{1+2+3+…+9+10+9+8+…+1}$．

Answer 1

分析 （1）先变形为8-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$），进一步根据$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$变形为8-（1-$\frac{1}{256}$），从而求解；
（2）根据1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），再根据等差数列求和公式计算，再约分计算即可求解．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$+$\frac{15}{16}$+$\frac{31}{32}$+$\frac{63}{64}$$+\frac{127}{128}$+$\frac{255}{256}$
=8-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$）
=8-（1-$\frac{1}{256}$）
=8-1+$\frac{1}{256}$
=7$\frac{1}{256}$

（2）$\frac{（{2}^{2}+{4}^{2}+{6}^{2}+…+10{0}^{2}）-（{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+9{9}^{2}）}{1+2+3+…+9+10+9+8+…+1}$
=$\frac{4×\frac{1}{6}×50×（50+1）×（50×2+1）-\frac{1}{6}×100×（100+1）×（100×2+1）}{\frac{1}{2}×（1+9）×9×2+10}$
=$\frac{4×\frac{1}{6}×50×51×101-\frac{1}{6}×100×101×201}{100}$
=$\frac{\frac{1}{6}×100×102×101-\frac{1}{6}×100×101×201}{100}$
=$\frac{1}{6}$×101×（102-201）
=-1666.5

点评 分数巧算就是熟能生巧的过程，综合运用乘法分配律，分数化小数，小数化分数以及带分数化假分数、带分数拆分等方法达到巧算的目的．