Question

试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|最小值．

Answer 1

考点：最大与最小

专题：运算顺序及法则

分析：此题可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-1997|表示：点x到数轴上的1997个点（1、2、3、…、1997）的距离之和，由于原式的绝对值共有1997项，最中间的那一项是|x-999|，所以只需取x=999，它们的和就可以获得最小值．

解答： 解：由于原式的绝对值共有1997项，最中间的那一项是|x-999|，所以只需取x=999，它们的和就可以获得最小值，原式可以展开为：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|，
=|999-1|+|999-2|+…+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+…+|999-1997|，
=998+997+…+1+0+1+…+998，
=2×（1+2+3+…+998），
=2×998×

998+1

2

，
=998×999，
=997002；
故答案为：997002．

点评：此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=999时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|能够取到最小值是解题关键．