Question

基本公式
（1）1+2+3+…+n=

n×(n+1)

2

（2）1²+2²+3²+…+n²=

n×(n+1)×(2n+1)

6

（3）1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²．
运用上面的公式计算
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²=
1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+10³=
100+121+144+169+…+400=
1³+3³+5³+7³+9³=

Answer 1

分析：①n=10，根据公式（1）求解；
②n=10，根据公式（2）求解；
③n=10，根据公式（3）和公式（1）求解；
④100=10²，121=11²，144=12²，…根据公式（2）求解；
⑤根据公式（3）求解．

解答：解：①1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，
=

10×(10+1)

2

，
=

10×11

2

，
=55；

②1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²，
=

10×(10+1)×(2×10+1)

6

，
=

10×11×21

6

，
=

2310

6

，
=385；

③1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+10³，
=（1+2+3…10）²，
=（

10×(10+1)

2

）²，
=（

10×11

2

）²，
=55²，
=3025；

④100+121+144+169+…+400，
=10²+11²+12²+…+20²，
=（1²+2²+3²+4²+…20²）-（1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²），
=

20×(20+1)×(2×20+1)

6

-

9×(9+1)×(2×9+1)

6

，
=

20×21×41

6

-

9×10×19

6

，
=

17220

6

-

1710

6

，
=2870-285，
=2585；

⑤1³+3³+5³+7³+9³，
=（1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³）-（2³+4³+6³+8³），
=（1+2+…+9）²-（8+64+216+512），
=（

9×(9+1)

2

）²-[（8+512）+（64+216）]，
=（

9×10

2

）²-（520+280），
=45²-800，
=2025-800，
=1225．

点评：本题关键是看清楚给出的算式能用哪种基本公式求解，或者变形后用哪种公式求解，找出计算的方法．