Question

如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a₃，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a₄，…依此类推，由正n（n≥3）边形“扩展”而来的多边形的边数记为a_n．当

1

a3

+

1

a4

+…+

1

an

的结果是

2007

6030

时，n的值是多少？

Answer 1

考点：数与形结合的规律

专题：探索数的规律

分析：结合图形观察数字，发现：a₃=12=3×4，a₄=20=4×5，进一步得到a_n=n（n+1）；在计算 

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

an

的时候，根据

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…进行简便计算．

解答： 解：观察图形可得：a_n=n（n+1）；
当

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

an

=

2007

6030

，
有

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

…+

1

n

-

1

n+1

=

1

3

-

1

n+1

=

2007

6030

，
解得n=2009．
答：n的值是2009．

点评：此题考查了图形的变化规律题，注意从特殊推广到一般，解方程时能够利用分数的加减法进行简便计算．