Question

一个棱长为6cm的正方体，把它切开成49个小正方体．小正方体的大小不必都相同，而小正方体的棱长以厘米作单位必须是整数．问：可切出几种不同尺寸的正方体？每种正方体的个数各是多少？

Answer 1

考点：简单的立方体切拼问题

专题：立体图形的认识与计算

分析：1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125，6³=216．（1）如果能切出1个棱长为5cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm的正体体，共切出小正方体1+（6³-5³）÷1=92（个）．因为92＞49，所以不可能切出棱长为5cm的正方体．
（2）如果能切出1个棱长为4cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm或2cm的正方体．设切出棱长为1cm的正方体有a个，切出棱长为2cm的正方体有b个，则有

a+23b+43=63 a+b=49-1

，解得b=14

6

7

，不是整数，不符合题意，所以切不出棱长是4厘米的正方体，
（3）设切出棱长为1cm的正方体有a个，棱长为2cm的正方体有b个，棱长为3cm的正方体有c个，则

a+8b+27c=216 a+b+c=49

，解之得a=36，b=9，c=4．所以可切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的正方体，其个数依次为36，9和4．

解答： 解：1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125，6³=216．
根据题干分析可得，不能切出棱长是5厘米和4厘米的小正方体，
设切出棱长为则1cm的正方体有a个，棱长为2cm的正方体有b个，棱长为3cm的正方体有c个，
则

a+8b+27c=216 a+b+c=49

，
解之得a=36，b=9，c=4．
所以可切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的正方体，其个数依次为36，9和4．
答：一共可以切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的三种不同的小正方体，其个数依次为36，9和4．

点评：解答此题的关键是分析讨论，得出能切出的小正方体的棱长只能是1厘米、2厘米、3厘米，据此列出方程组即可解答问题．