Question

【题目】把若干个自然数l，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?

Answer 1

【答案】55

【解析】

要求乘积的末十三位均是0，那么这个乘积至少含有13个质因数2，13个质因数5．

连续的自然数中2的倍数的个数远大于5的倍数的个数．所以只用考虑质因数5的个数，有：13×5＝65，而1～65中，25、50均含有2个质因数5．

所以只需连乘到(13－2)×5＝55即可．也就是说1×2×3×…的积的末十三位均是0，那么最后出现的自然数最小应是55．

解法二：我们分段考虑质因数5的出现的情况：

在1至9中，有5本身，出现1次因数5；

在10至19中，有10、15，出现2次因数5；

在20至29中，有20、25，由于25=5×5，5出现了2次，所以共出现3次因数5；

在30至39、40至49中，各出现2次5的因子，至此共出现了1+2+3+2+2=10次5的因子．

在50至59中，有50、55、50=2×5×5出现了两次5的次因子，所以这里共有3个5的因子．

所以到55为止，共出现13次5的因子，55为出现的最小自然数，使得2乘到它的结果中末尾有13个0．