Question

从图a那样的等边三角形开始，将三角形的每条边三等分，然后以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图b，得到一个“雪花六角形”．接着将“雪花六角形”的12条边的每一条三等分，仍以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图c，得到一个新的“雪花形”．问：图c的面积与图a的面积的比是多少？

Answer 1

分析：设图a的等边三角形的面积是l，在图b中，每条边上增加的等边三角形的面积是

1

9

．共增加了3个等边三角形，所以即可求出图b的面积和图a的面积的比；同理，图c中外边缘增加的小等边三角形的面积是

1

9

×

1

9

=

1

81

，共增加了12个小的等边三角形，进而求出图c的面积，问题得解．

解答：解：设图a的等边三角形的面积是l，在图b中，每条边上增加的等边三角形的面积是

1

9

，
共增加了3个等边三角形，所以图b的面积是1+3×

1

9

=

4

3

，图b的面积和图a的面积的比，4：3．
类似地，图c中外边缘增加的小等边三角形的面积是

1

9

×

1

9

=

1

81

，
共增加了12个小的等边三角形，
所以图c的面积是

4

3

+12×

1

81

=

4

3

+

4

27

=

40

27

．
所以，图c的面积和图a的面积比是

40

27

：1=40：27．

点评：此题主要考查等积变形问题，利用边长的特点，求出各自的面积，问题即可得解．