Question

一个圆的圆周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头．如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、…，即是一个由连续奇数组成的数列．问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？

Answer 1

解：由前面分析知，每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短：
5.5+3.5=9（厘米）．
所以，到相遇时，它们已改变方向：
1.26×100÷2÷9=7（次）．
也就是在第7次要改变方向时，两只蚂蚁相遇，用时：
1+3+5+7+9+11+13=49（秒）．
答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒．
分析：对于这种不断改变前进方向的问题，我们先看简单的情况：

在一条直线上，如上面图形，一只蚂蚁先从0点出发向右走，然后按照经过1秒、3秒…改变方向．由于它的速度没有变化，可以认为蚂蚁每秒钟走一格．
第一次改变方向时，它到A₁，走1格，OA₁=1格；
第二次改变方向时，它到A₂，走3格，OA₂=2格；
第三次改变方向时，它到A₃，走5格，OA₃=3格；
第四次改变方向时，它到A₄，走7格，OA₄=4格；
第五次改变方向时，它到A₅，走9格，OA₅=5格．
我们不难发现，小蚂蚁的活动范围在不断扩大，每次离0点都远了一格．当两只蚂蚁活动范围重合时，也就是它们相遇的时候．另外我们从上面的分析可知，每一次改变方向时，两只蚂蚁都在出发点的同一侧．这样，通过相遇问题，我们可以求出它们改变方向的次数，进而求出总时间．
点评：此题通过找路程规律来解答，找出每次爬行缩小的距离关系规律，再求出到相遇时，它们改变方向的次数，进而求出总时间．