Question

对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？

Answer 1

考点：通过操作实验探索规律

专题：探索数的规律

分析：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6-----，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6----5，6----4，6----3，6----2；然后分类讨论，求出可以进行5次操作的六位数有多少个即可．

解答： 解：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，
它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，
A、首位是6：形如：6-----，
因为第一次交换的是第六位，
所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，
因此有四种情况：6----5，6----4，6----3，6----2；

A1：6----5时，（仅举四种情况之一）
因为第二次交换的是第五位，
所以第五位不能是1，只能是4、3、2其中的一个，
因此原数有6---45，6---35，6---25三种情况；

A11：6---45时，（仅举三种情况之一）
因为第三次交换第四位，
所以第四位不能是1，只能是3、2其中的一个，
因此有：6--345；6--245二种情况；

A111：6--345时，（仅举两种情况之一）
因为第四次交换第三位，
所以第三位不能是1，只能是2，
因此有：6-2345一种情况；
第二位只能是1：即612345，
第五次交换第二位，结果是162345；

综上，以6开头的六位数，要能进行五次操作：这样的数共有：
4×3×2×1=24（个），
而开头的数字可以是2、3、4、5、6这五个数字之一，
故可以进行5次操作的六位数共有：5×4×3×2×1=120（个）．
答：可以进行5次操作的六位数有120个．

点评：此题主要考查了通过操作实验探索发现规律问题的应用．