Question

已知两个自然数的和是54，最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个数．

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：

分析：根据题意可设设两个自然数为X和Y，它们的最大公约数为b，并且X=ab，Y=cb，且由题可知a，b，c都是正整数．由于两个自然数的和是54，可得ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9；最小公倍数与最大公约数的差是114，可得abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19，因为a，b，c都是正整数，通过以上两个式子可知，所以b 可能是2或3或2×3=6．由此代入数据进行验证即可．

解答： 解：设两个自然数为X和Y，则 X=ab，Y=cb，且由题可知a，b，c都是正整数，
则ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9，
abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19，
因为a，b，c都是正整数
所以b可能是2或3或6．
经检验，b为2或3 a，c都无正整数解．
所以b只能是6，由此可知，a=4，c=5．
所以 X=ab=24   Y=cb=30．
答：这两个数分别为24，30．

点评：根据题意列出等式，并由此求出两数的最大公约数的取值范围是完成本题的关键．