Question

1．三千多年前，埃及人发现了一种特殊的功能，这些分数的分子为1，它们被称为单位分数，例如$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$等．
（1）你能计算下面单位分数的和吗？
$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{20}$；$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{30}$
（2）从上面式子可得：$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，n是正整数．
（3）利用上述规律将1分解成几个单位分数之和，如1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$．
①请将1分解为5个单位分数之和；
②请将1分拆为几个分母是偶数的单位分数之和．

Answer 1

分析 （1）可利用分数的基本性质将分数的分子、分母扩大相同的倍数（0除外），再将分子拆成两个自然数的和；可得：$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）从第一问可以直接得出该结论；
（3）利$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$把每个单位分数继续变小拆得；
据此解答即可．

解答 解：（1）
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{6}$$+\frac{1}{6}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{12}$=$\frac{3}{12}$$+\frac{1}{12}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$$+\frac{1}{20}$=$\frac{4}{20}$$+\frac{1}{20}$=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$$+\frac{1}{30}$=$\frac{5}{30}$$+\frac{1}{30}$=$\frac{6}{30}$=$\frac{1}{5}$
即为：
（2）$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$
（3）①因为：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$
所以：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{7}$$+\frac{1}{7}$$+\frac{1}{42}$$+\frac{1}{42}$=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{7}$$+\frac{1}{7}$$+\frac{1}{21}$
②因为：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{7}$$+\frac{1}{42}$，$\frac{1}{7}$=$\frac{1}{8}$$+\frac{1}{72}$
所以：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$$+\frac{1}{42}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{72}$$+\frac{1}{42}$．
因为：
$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{20}$
所以：
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{72}$$+\frac{1}{42}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$$+\frac{1}{20}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{72}$$+\frac{1}{42}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n}$．

点评 本题主要是根据第一问总结出规律，并且正确的拆数是解决问题的关键．